2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．以下说法错误的是（ ）‎ A．零向量与单位向量的模不相等 B．零向量与任一向量平行 C．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上 D．平行向量就是共线向量 ‎【答案】C ‎【解析】根据平面向量的相关知识，分析每一个选项，易得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A，零向量的模长为0，单位向量的模为1，故A正确；‎ 对于B，零向量与任一向量平行，故B正确；‎ 对于C，向量与向量是共线向量，只能说明和是平行的，不能说明A，B，C，D四点在一条直线上，故C错误；‎ 对于D，平行向量就是共线向量，故D正确 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量，掌握平面向量的相关知识是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，先求出圆心到直线的距离，可得出半径，再根据圆的标准方程可得答案.‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离为： ‎ 所以圆的半径 ‎ 所以圆的方程为：‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程，清楚直线与圆相切中，圆心到直线的距离就是半径是解题的关键，属于基础题.‎ ‎3．已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，故选B.‎ ‎【考点】三角函数的诱导公式．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式．在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．诱导公式的应用是三角函数中的基本知识，主要体现在化简或求值，本题难度不大．‎ ‎4．若向量，则＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量的加减运算可得，代入点的坐标可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的坐标运算，熟悉向量的加减法是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5． =（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，根据诱导公式和正弦的和角公式，对原式进行化简，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的诱导公式和和差角公式，熟悉合理运用公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6．已知向量则（ ）‎ A．A、B、D三点共线 B． A、B、C三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】由题，先求得向量，然后易得，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为向量，‎ 所以 即点A、B、D三点共线 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的共线和向量的运算，熟悉相关知识点是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7．如图，正方形中，为 的中点，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，根据平面向量的加法，表示出，可得的值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 在正方形中，为 的中点，‎ 所以 ‎ 又因为 所以 ‎ 即 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的基本定理，熟悉四则运算是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8．函数 零点的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题的零点，即方程的解，分别作出图像，观察交点，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数的零点，即方程的解，在同一坐标系中分别作出的图像，如图 可得当有4个交点，时，无交点，‎ 所以有4个解，‎ 即有4个零点 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程，利用数形结合是解题的关键，属于中档题.‎ ‎9．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦AC=4，最短弦为过点与AC垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.‎ ‎【详解】‎ 圆化简为可得圆心为 易知过点的最长弦为直径，即AC=4‎ 而最短弦为过与AC垂直的弦，圆心到的距离：‎ ‎ ‎ 所以弦BD= ‎ 所以四边形ABCD的面积： ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆，熟悉图像和性质，以及面积的求法是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10．已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由降幂公式和诱导公式对原式进行化简，再将代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由降幂公式，‎ 即 所以 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变化，对诱导公式、降幂公式的熟悉是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则点满足的关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由辅助角公式，对原式化简，再利用是函数的一条对称轴，且，求得a、b的关系可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，根据辅助角公式可得：‎ ‎ ‎ 因为是函数的一条对称轴，即，即 因为，所以 即 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.‎ ‎【详解】‎ 延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，‎ 所以，设 ‎ 代入可得 即 ‎ 又因为，即，且 ‎ 解得 ‎ 所以可得 ‎ 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比 所以与的面积之比为 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由降幂公式对函数进行化简，再利用周期公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据降幂公式：‎ 所以最小正周期 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了降幂公式以及周期，运用降幂公式化简是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14．设函数对任意的 均满足，则______‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为奇函数，可求得的值，代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为 又因为，所以函数为奇函数 即 ‎ 所以 故答案为-1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的性质以及化简，利用辅助角公式是解题的关键，熟悉三角函数性质，属于较为基础题.‎ ‎15．已知向量与共线，其中是的内角，则＝____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由平面向量共线可得关系式，再将原式进行化简可求得角A的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为向量与共线，‎ 所以 ‎ 即 化简可得： ‎ 因为是的内角，所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量和三角函数结合的题目，熟悉向量共线以及三角恒等变化是解题的关键，属于中档题.‎ ‎16．已知函数.给出下列结论： ‎ ‎①函数是偶函数； ‎ ‎②函数的最小正周期是;‎ ‎③函数在区间上是减函数；‎ ‎④函数的图象关于直线对称．‎ 其中正确结论的序号是___________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】利用三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）分析每一个选项，易得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，，定义域为关于原点对称，‎ ‎，所以为偶函数，①正确；‎ 所以函数的最小正周期是，②正确；‎ ‎ ，所以函数在区间上不是减函数，‎ ‎③错误；‎ ‎ ‎ 而 所以，即函数的图象关于直线对称，④正确 故答案为①②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的性质，熟悉函数奇偶性、周期性、单调性、对称性是解题的关键，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17．平面给定三个向量 ‎（1）若，求的值 ‎（2）若向量与向量共线，求实数的值 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）用坐标表示出，构造出关于的方程组，求解得到结果；（2）用坐标表示出与，利用向量共线的性质得到方程，求解得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）， ‎ 又 ，解得：‎ ‎（2），‎ 与共线 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，涉及到相等向量和向量共线的性质，属于基础题.‎ ‎18．已知圆.‎ ‎（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； ‎ ‎（2）已知点 为圆上的点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将圆化为标准方程，利用弦长公式求得圆心到直线的距离，设出直线方程求得斜率，可得方程；‎ ‎（2）由题，所求的表示的是圆上的点到(2，-2)的距离，可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C的方程可化为 且；‎ 易知斜率不存在时不满足题意，设直线 ‎ ‎ 则直线的方程为 ‎ ‎（2）设Q(2，-2)，则 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的综合知识，熟悉方程和性质是解题的关键，属于较为基础题.‎ ‎19．已知函数图象的一部分如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设 ，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由图像易知，函数的周期，求得的值，再代入利用对称轴可得的值，可得结果；‎ ‎（2）由题意，代入可得和的值，即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎，且 又且 则 ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的解析式的求法，以及和差角公式，熟悉图像和性质求和 是解题的关键，属于较为基础题.‎ ‎20．已知平面上两点，点为平面上的动点，且点满足；‎ ‎（1）求动点的轨迹的轨迹方程；‎ ‎（2）若点为轨迹上的两动点,为坐标原点，且.若是线段的中点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设出点P的坐标，利用距离公式，可得的轨迹方程；‎ ‎（2）由题，可得，再结合是线段的中点，利用向量的公式求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点P的坐标为 ‎ 则有 ‎ 则 ‎（2） ‎ 又Q为AB的中点，则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程以及直线与圆的相交问题，熟悉性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，其函数图象的相邻两个最高点的距离为；‎ ‎（1）求函数 的解析式；‎ ‎（2）将函数的图像向左平移 个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，若对任意的 ，不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题，利用三角恒等变化化简，再相邻两个最高点的距离为，可得周期，求得解析式；‎ ‎（2）先进行变化求得，再进行换元，利用参变分离求得m的取值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）由题，函数向左平移 个单位长度，再向上平移个单位可得：‎ 令 ‎ ‎ 恒成立 ‎ ‎ 令上单调递增 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数综合，熟悉三角恒等变化和图像性质是解题的关键，属于常考题目.‎