【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第4讲 二次函数与幂函数学案
第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)幂函数y＝f(x)经过点(2，)，则f(9)为( )
A．81 B．
C． D．3
解析：选D.设f(x)＝xα，由题意得＝2α，所以α＝.
所以f(x)＝x，所以f(9)＝9＝3，故选D.
(教材习题改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
[通关练习]
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x (n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B．由于f(x)为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3.
当n＝1时，f(x)＝x－2＝在(0，＋∞)上是减函数；
当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．
故n＝1符合题意，故选B．
2．已知幂函数f(x)满足f(8)＝4，则f________f(填＞、＝或＜)．
解析：设f(x)＝xα(α为常数)，又f(8)＝4，所以4＝8α，所以α＝.于是f(x)＝x，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．
所以f＝f＜f.
答案：＞
求二次函数的解析式
[典例引领]
(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
【解】 (1)设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
故填x2＋2x.
(2)因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4，3)，
所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为
f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
求二次函数解析式的方法
[通关练习]
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
2．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，
所以－a＝－，即b＝－2，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
所以2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
二次函数的图象与性质(高频考点)
高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：
(1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题．
[典例引领]
角度一 二次函数图象的识别问题
已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【解析】 A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，
而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】 D
角度二 二次函数的单调性问题
函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】 [－3，0]
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以解得a＝－3.
角度三 二次函数的最值问题
已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．
【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝.
①当0<≤1，即a≥1时，
f(x)＝ax2－2x的对称轴在(0，1]内，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即01时，f(x)在[0，1]上是减函数，
所以f(x)min＝f(1)＝1－2a.
综上所述，f(x)min＝
(1)确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
(2)二次函数最值的求法
二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．
[通关练习]
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
解析：选D.由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C．又f(0)＝c<0，所以排除B，选D.
2．已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解：因为函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以对称轴为直线x＝1，
因为x＝1不一定在区间[－2，a]内，
所以应进行讨论，当－21时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，f(x)取得最小值，
即f(x)min＝－1.
综上，当－21时，f(x)min＝－1.
三个“二次”间的转化
[典例引领]
(1)当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________.
【解析】 (1)设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1 .
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
【答案】 (1)(－∞，－5] (2)(－∞，－1)
(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称为三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[注意] 当二次项系数a是否为0不明确时，要分类讨论．
[通关练习]
已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
解析：2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
答案：
幂函数y＝xα(α∈R)的图象的特征
当α>0时，图象过原点和点(1，1)，在第一象限图象从左往右是逐渐上升；
当α<0时，图象过点(1，1)，但不过原点，在第一象限图象从左往右是逐渐下降．
求解二次函数最值的关键点
求二次函数的最值，应抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
二次函数中的恒成立问题
与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A． B．1
C． D．2
解析：选C．因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
2．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，则a＋2b的值为( )
A．－2 B．3
C．－3 D．2
解析：选A．依题意，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，所以解得所以a＋2b的值为－2，故选A．
3．已知函数f(x)＝－2x2＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为( )
A．f(5)>f(－2)>f(4)
B．f(4)>f(5)>f(－2)
C．f(4)>f(－2)>f(5)
D．f(－2)>f(4)>f(5)
解析：选B．因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x2＋bx的图象关于直线x＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x2＋bx的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．
4．(2018·南昌一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )
A． [0，12] B．
C． D．
解析：选B．因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b＝0.
因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝－，所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故当x＝－时，函数f(x)取得最小值－.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为，故选B．
5．(2018·衡阳模拟)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[－2，5)
D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
解析：选A．令f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4, 则f(x)的最小值为4，若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意的实数x恒成立，则a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A．
6．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，
又f(a＋1)4时，
g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，
故此时a 不存在；
(2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝3－a－≥0，
得－6≤a≤2，
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；
(3)当－>2，即a<－4时，
g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，
得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，
综上得－7≤a≤2.
1．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．[0，4] B．
C． D．
解析：选D.二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.
2．(2018·吉林模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为( )
A． B．1
C． D．2
解析：选B．函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图象的对称轴是x＝－a，因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以－a≥1，即a≤－1，且函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[a＋1，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)＋3＝3a2＋4a＋4，f(x)min＝f(1)＝2a＋4，所以g(a)＝f(a＋1)－f(1)＝3a2＋2a，a∈(－∞，－1]，且函数g(a)的图象的对称轴为a＝－，所以g(a)在(－∞，－1]上单调递减，所以g(a)min＝g(－1)＝1，故选B．
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)
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