2012年数学广州中山高三热身练理科试题

2012年数学广州中山高三热身练理科试题

‎2012年广州中山高三热身练理科数学试题 一、选择题 ‎1、若，，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2、4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有 ‎ A．12 B．‎10 ‎‎ ‎ C．8 D．6‎ ‎3、设f(x)=,则的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4、下列四个命题中，正确的是 A．已知服从正态分布，且，则 B．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位 C．已知命题;命题．则命题“”是假命题 ‎ D．已知直线,，则的充要条件是 =-3 ‎ ‎5、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，‎ 第二个数比第一个数大1，‎ 第三个数比第二个数大2，‎ 第四个数比第三个数大3，……‎ 以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图 如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6、已知为内一点，满足, ,且,则的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、记集合T= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎8、已知集合，，则 ‎ A． B． C．{ D．‎ 二、填空题 ‎9、设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎ 若，，则 若，，则 ‎ 若，，则 若，，则 其中真命题的序号是 ‎ ‎10、复数的虚部是 ‎ ‎11、已知数列的前项和，且满足，则正整数_____‎ ‎12、已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为 ‎ ‎13、(极坐标与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________‎ ‎14、如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=，则∠DEB___________‎ ‎15、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为____‎ 三、解答题 ‎16、‎ 已知为实数，数列满足,当时，‎ ‎(1)当时，求数列的前100项的和；‎ ‎(2)证明：对于数列，一定存在，使；‎ ‎(3)令,当时，求证： ‎ ‎17、‎ 已知函数(>0,0<)的最小正周期为，且.‎ ‎(1)求的值；(2)若 ‎18、如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；‎ ‎（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．‎ 第17题图 ‎19、 设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为． ‎ ‎（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；‎ ‎（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎20、‎ 已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（II）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．‎ ‎21、‎ 已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线 平行．‎ ‎(1)求实数的取值范围；‎ ‎(2)是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)设,的导数为,令 求证： ‎ A 以下是答案 一、选择题 ‎1、 A ‎2、 C ‎3、 C ‎4、 C ‎5、 D ‎6、 B ‎7、 A ‎8、 D 二、填空题 ‎9、①③ ‎ ‎10、1‎ ‎11、8 ‎ ‎12、4 ‎ ‎13、 ‎ ‎14、 ‎ ‎15、 ‎ 三、解答题 ‎16、解：(1)当a=100时，由题意知数列的前34项成首项为100，公差为-3的等差数 列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而 ‎.‎ ‎(2)证明：①若03此时数列的前若干项满足an-an-1=3,即an=a1-3(n-1).‎ 设,则当n=k+1时，‎ 从而此时命题成立 ‎③若a1≤0，由题意得a2=4-a1>3，则有②的结论知此时命题也成立．‎ 综上所述，原命题成立 ‎(3)当20，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．而 ‎①当n=2k(k∈N*且k≥2)时，‎ ‎②当n=2k-l(k∈N*且k≥2)时，出于bn>0，所以 综上所述，原不等式成立 ‎ ‎ ‎17、(1)由函数的周期为π，可知，所以w=2‎ ‎ 又由f 又 ‎(2)由f ‎ 因为αsin ‎ 所以…………12分 ‎18、解析：（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ 又∵，分别是、的中点，∴，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（Ⅱ）连结，∵平面，平面平面，∴，‎ ‎∴，故 ‎ ‎（Ⅲ）∵平面，平面，∴，‎ 在等腰三角形中，点为的中点，∴，‎ ‎∴为所求二面角的平面角， ‎ ‎∵点是的中点，∴，‎ 所以在矩形中，可求得，，，‎ 在中，由余弦定理可求得，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19、（1）依题可知平面区域的整点为共有13个，‎ ‎ 平面区域的整点为共有5个， ∴． ‎ ‎（2）依题可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：．‎ 在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为， ‎ 易知：的可能取值为， ‎ ‎ ．‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望．‎ ‎（或者： ，故）‎ ‎20、解（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，‎ 则 ，且 ‎ ‎ 可得 ．‎ A 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程． ‎ ‎（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．‎ 由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为． ‎ 把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，‎ 解得或4，可得点Q的坐标为．‎ 所以 ‎ ‎21、解：(1)∵,∴，由题意∴f/(1)=1+‎2a-b=1，‎ ‎∴b=‎2a． ① ∵f(x)有极值，∴方程f/(x)=x2+2ax-b=0有两个不等实根．‎ ‎∴△=‎4a2+4b>0、 ∴a2+b>0． ②‎ 由①、②可得，α2+‎2a>0． ∴a<-2或a>0．故实数a的取值范围是 ‎ ‎(2)存在.‎ 由(1)可知，令f/(x)=0‎ ‎∴x=x2时，f(x)取极小值，则f（x2）==1,‎ ‎∴‎ 若x2=0，即则a=0(舍)．‎ 若 ‎∴存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ‎ ‎(3)∵, ‎ ‎ ‎ ‎∴其中等号成立的条件为x=1‎