浙江省临海市白云高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 含解析

浙江省临海市白云高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 含解析

www.ks5u.com 白云高级中学2018学年第二学期期中试题高二数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,,则,故选B.‎ 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.‎ ‎2.已知函数，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，先求得，进而可求得的值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，可得，‎ 所以，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3.函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的增区间为，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.若函数在上是增函数，则的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用一次函数的单调性求解.‎ ‎【详解】因为函数在上是增函数，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.下列函数求导运算正确的个数为( )‎ ‎①；②③；④；⑤‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，即可作出判断．‎ ‎【详解】①，故错误；‎ ‎②，故正确；‎ ‎③，故正确；‎ ‎④，故错误；‎ ‎⑤，故错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．‎ ‎6.下列四个函数中，在上为增函数是(　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图像判断每一个选项得解.‎ ‎【详解】A. ,在上为减函数；‎ B. ，在上不是单调函数；‎ C. ，在上为减函数；‎ D. ，在上为增函数.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D ‎8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.‎ ‎【详解】A. ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；‎ B. ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；‎ C. ，，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；‎ D. ,，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意可得： ，解得或，故选C.‎ 点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.‎ ‎10.已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.‎ ‎【详解】，‎ 直线是函数的图象在点处的切线，‎ 其斜率为（1），‎ 直线的方程为．‎ 又因为直线与的图象相切，‎ ‎，消去，可得，‎ 得△不合题意，舍去），‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.设集合，，若，则________；_________.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出m的值，再求.‎ ‎【详解】因为，所以m=3.‎ 所以.‎ 故答案为：3，{1,2,3}‎ ‎【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.曲线在点处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以切线的斜率为，‎ 所以切线的方程为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13.若函数在，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导数，再令得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 令得x=2（舍去）或0，‎ 因为，‎ 所以函数的最小值是，最大值为0.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.已知函数，则______ ；_________.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再依次求出.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：1；2‎ ‎【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.已知在单调递减，则的取值是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上是减函数，得，求导后分离参数得答案.‎ ‎【详解】由题意可知在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，，，‎ 要使，需，‎ 故的取值范围为，.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件得到的导函数，根据限制性条件，和基本不等式 进行解答．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以．‎ 又因为，，‎ 所以（b），‎ 所以斜率的最小值是2．‎ 故答案是：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．‎ ‎17.若函数同时满足：(1)对于定义域上的任意，恒有；(2)对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：①； ②； ③；④，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．‎ ‎【答案】（4）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由“理想函数”的定义可知：若是“理想函数”，则为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．‎ ‎【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：‎ ‎①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；‎ ‎②对于定义域上的任意，，当时，恒有，，‎ 时，，即函数是单调递减函数．‎ 故为定义域上的单调递减的奇函数．‎ ‎（1）在定义域上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；‎ ‎（2）在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；‎ ‎（3）不是奇函数，所以不是“理想函数”；‎ ‎（4），在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．‎ 故答案为：（4）‎ ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的 关键，属于中档题 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎18.设全集，集合，.‎ ‎(1)求集合；‎ ‎(2)求集合．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.‎ ‎【详解】（1）由题得.‎ ‎（2）由题得.‎ ‎【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.已知函数满足且在时函数取得极值．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求函数单调递减区间.‎ ‎【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过（2）及（1），计算即得结论；（2）通过对函数求 导，进而可判断单调递减区间.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 函数在时函数取得极值，‎ ‎（2），即，‎ ‎，‎ 又（1），‎ ‎，‎ 综上、；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎，‎ 时，，‎ 函数在上单调递减；‎ 函数的单调递减区间为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间 上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函 数，求得导数，由题意可得在区间上，恒成 立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得的范围；‎ ‎【详解】（1）求导得，‎ 又因为（1），（1），‎ 所以曲线在点，（1）处的切线方程为；‎ ‎（2）设函数，‎ 求导，得，‎ 因为函数在区间上单调递增，‎ 所以在区间上恒成立，‎ 即恒成立，‎ 又因为函数在区间上单调递减，‎ 所以（e），‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，‎ 考查化简整理的运算能力，属于综合题．‎ ‎21.已知函数，其中为常数．‎ ‎（1）若曲数在点处的切线与直线y=-x+1平行，求函数极小值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．‎ ‎【答案】(1)ln2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，由已知可得（1），即，再利用导数求函数 的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 函数在点，（1）处的切线与直线y=-x+1平行，‎ ‎（1），即.‎ 此时函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），‎ 所以函数的极小值为.‎ ‎（2）由（1）知，当时，在，上恒成立，在，上为增函数，‎ ‎，得（舍；‎ 当时，由，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎，解得；‎ 当时，在上恒成立，在上为减函数，‎ ‎，解得（舍．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分 类讨论的数学思想方法，是中档题．‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1≤a≤1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若，根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据函数单调 性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数的取值范围；‎ ‎【详解】（1）函数为奇函数．‎ 当时，，‎ ‎，‎ 函数为奇函数；‎ ‎（2），‎ 当时，的对称轴为：；‎ 当时，的对称轴为：；‎ 当时，在上是增函数，‎ 即时，函数在上是增函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，掌握分段函数的性质是解决本题的关键．综合性 较强．‎ ‎ ‎