2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（新版）人教版

2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（新版）人教版

‎2019学年高二数学上学期期末考试试题 理 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．设集合，集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知命题：若，则；命题：若，则．‎ 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎5. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知△的内角所对的边分别为.若，，，则等于（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎ ‎7．若满足，则的最大值为（ ）‎ A. 0 B. 3 C. 4 D. 5‎ - 11 -‎ ‎8．空间四边形中，点在上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上．若，则△的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 若为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）‎ ‎11. 已知分别为椭圆的左，右焦点．若为椭圆上的一点，且△的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．4 ‎ ‎12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 问：几日相逢？（ ）‎ A．8日 B．9日 C．12日 D．16日 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，‎ ‎13. 双曲线的离心率为________ ．‎ ‎14．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面m，‎ 水面宽m．水位上升m后，水面宽________ m．‎ - 11 -‎ ‎15．在平行六面体中，，，，‎ ‎，，则的长等于 ．‎ ‎16．设△的内角、、所对的边、、成等比数列，则的取值范围为_______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的首项，公差，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ），求数列的的前项和为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在正方体中，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求与所成角的余弦值；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面.‎ - 11 -‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知动圆过定点且与定直线：相切，动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点作倾斜角为的直线，交曲线于两点，求△的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎ （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是的中点. ‎ ‎（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求点的轨迹方程；‎ - 11 -‎ ‎ （Ⅱ）求的取值范围. ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ），，，求证：．‎ 永春一中高二数学（理）期末试卷 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D C C A D C B B B C B ‎13. 14． 15． 16． ‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为成等比数列，所以，即，‎ ‎，，，‎ ‎，数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则，‎ ‎，，‎ - 11 -‎ 所以 ，‎ ‎．‎ ‎18．解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，. ‎ ‎（Ⅰ）解：，，，，‎ ‎.‎ 所以.‎ 因此，与所成角的余弦值是.‎ ‎（Ⅱ）证明：方法一：取的中点，连接，则，.‎ 所以，即，‎ 又平面，平面，因此平面.‎ 方法二：，，，‎ ‎，即与，共面，又平面，因此平面.‎ 方法三：，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，.‎ - 11 -‎ 又，‎ 故，所以.‎ 又平面，因此平面.‎ ‎19．解：（Ⅰ）依题意知，点到定点和直线的距离相等，‎ 所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，‎ 设抛物线的方程为（），由，得，‎ 故曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 设，，则，，‎ ‎．‎ 所以，△的面积为．‎ ‎20．（Ⅰ）证明：分别取，的中点，，连接，由，得，‎ 因为侧面底面，侧面底面， 平面，‎ 所以底面.在矩形中，，则两两互相垂直.‎ 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则，，，‎ 设（），‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因此，得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：，，‎ - 11 -‎ ‎．‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ 又，‎ ‎．‎ 因为与平面所成的角为，所以，‎ ‎，．，，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ ‎，，‎ 设是平面的一个法向量，则，，‎ ‎，，令，得，，．‎ 所以．‎ 因此，二面角的余弦值为. ‎ 解法二：作，垂足为，连接，如图所示．‎ 设，则，，‎ ‎，‎ - 11 -‎ ‎，即， ‎ 又，所以平面，‎ 为在平面上的射影，‎ 故是与平面所成的角，，‎ 由，得，‎ 在△中，，则，，‎ ‎△为等边三角形，因此．‎ 作，垂足为，连接.‎ 在△中，，，，，‎ 故，，，，，‎ ‎，‎ ‎，，故为二面角的平面角，，‎ ‎.‎ 因此，二面角的余弦值为.‎ ‎21． 解法一：（Ⅰ）设直线的方程为， ‎ 由消去整理得，‎ ‎，，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ - 11 -‎ 四边形是平行四边形，，‎ 设，则，，‎ ‎，消去整理得 ‎，由，得，‎ 故点的轨迹方程为（）.‎ ‎（Ⅱ）不妨设，‎ ‎.‎ 设，‎ ‎.‎ 由，得，即的取值范围为.‎ 解法二：（Ⅰ）设，，，则，‎ ‎，，‎ ‎，，.‎ 由四点共线，得，，.‎ - 11 -‎ 又在椭圆内，，，，.‎ 故点的轨迹方程为（）.‎ ‎（Ⅱ）同解法一．‎ ‎22．解：（Ⅰ）不等式可化为．‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，所以；‎ 当时，，解得，所以．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），，‎ 因为，，‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ 故．‎ - 11 -‎