2017-2018学年河南省信阳高级中学高二4月月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年河南省信阳高级中学高二4月月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省信阳高级中学高二4月月考数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：集合的运算 ‎2. 已知复数，则的虚部是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，所以的虚部是 考点：复数的代数运算 ‎3. 下列函数既是偶函数又在上是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】=，则函数为偶函数，在上是减函数，不满足条件．‎ ‎=，则函数的定义域为[0，+∞），不满足条件．‎ y==是偶函数，但在）上为增函数，满足条件．‎ ‎=，则函数的定义域为，不满足条件，‎ 故选：C．‎ ‎4. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，故双曲线的标准方程得，即，即双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.‎ 考点：1.抛物线的标准方程及几何性质；2.双曲线的标准方程及几何性质.‎ ‎5. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，‎ ‎∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝＝，故选A 视频 ‎6. 在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由等比数列的性质可知，所以，即数列为常数列，所以，即，所以，故选B.‎ 考点：等比数列的定义与性质.‎ ‎7. 设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设提供的图像信息可知：，故，函数解析式为，又函数是偶函数且，则，所以，则，，应选答案D。‎ ‎8. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：模拟程序框图执行过程，如下；‎ 开始，，不输出，进入循环，1是奇数？是，，‎ 不输出，进入循环，2是奇数？否，，不输出，进入循环，‎ ‎3是奇数？是，，不输出，进入循环，‎ ‎4是奇数？否，不输出，进入循环，‎ ‎5是奇数？是，，不输出，进入循环，‎ ‎6是奇数？否，，退出循环，输出21，‎ ‎∴判断框中的条件是：‎ 故选C．‎ 考点：程序框图.‎ ‎9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A. 54 B. 27 C. 18 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，两边为6,3，棱锥的高为3，所以体积为 考点：三视图 ‎10. 已知＝，则m的值为 A. B. － C. D. －1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由微积分基本定理可得：‎ ‎，‎ 结合题意可得：，解得：．‎ 故选：A．‎ ‎11. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，平面BCD，是边长为3的等边三角形.若，则球O的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：取的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，，，四面体ABCD外接球的表面积为：，故选C.‎ 考点：球的体积和表面积.‎ ‎12. 函数在上的最大值为2，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于等于2，即，解得：，‎ 故选D.‎ 考点：函数最值的应用.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 若点满足线性约束条件，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图：‎ 作出直线x-y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（-2，0）时，Z取得最小值-2，所以Z的取值范围为[-2，0）．故答案为：[-2，0）．‎ 考点：简单线性规划.‎ ‎14. 若二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为___________．‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】试题分析：二项展开式中的第5项是常数项，，令，则，∴该展开式中共有7项．中间项是：第四项：．中间项的系数为：-160．故答案为：-160．‎ 考点：二项式系数的性质.‎ ‎15. 平面向量与的夹角为， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，=（3，4），则||=5，‎ 又由向量的夹角为60°，且||=1，‎ 则有•=5×1×cos60°=，‎ 则（﹣2）2=2﹣4•+42=19，‎ 则|﹣2|=；‎ 故答案为：．‎ ‎16. 已知直线交抛物线于和两点，以为直径的圆被轴截得的弦长为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由消去y整理得，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴．‎ 由抛物线的定义可得，‎ ‎∴以为直径的圆的半径为，圆心到x轴的距离为．‎ 由题意得，‎ 解得．‎ 答案：‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 已知数列是等差数列，首项，且是与的等比中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】(1) an= 2n（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，‎ ‎（2）化简bn，根据式子的特点进行裂项，再代入数列{bn}的前n项和Sn，利用裂项相消法求出Sn．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．‎ ‎∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），‎ 解得d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，‎ ‎（2） ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. 在中，角对的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)（2）‎ 试题解析：（1）∵，∴（ 2分）‎ ‎ .‎ ‎（ 6分）‎ ‎（2）∵，∴∴（8分）‎ ‎（ 10分）‎ 当且仅当时,的面积取到最大值为. （12分）‎ 考点：正弦定理、余弦定理、向量的数量积、基本不等式、三角形面积公式、两角和的正弦公式.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q是AD的中点.‎ ‎（ Ⅰ）若，求证：平面PQB平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若平面APD平面ABCD，且，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角的大小为，并求出的值.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，为等腰三角形，Q为AD中点，所以，又由于底面ABCD为菱形，得到，利用线面垂直的判定得到平面PQB，最后利用面面垂直的判定得到结论；第二问，利用面面垂直的性质得到两两垂直关系，建立空间直角坐标系，写出面内所有点的坐标，得到向量坐标 试题解析：（1）∵，Q为AD的中点，∴，‎ 又底面ABCD为菱形，，∴,‎ 又∴平面PQB，又∵平面PAD,‎ 平面PQB平面PAD;‎ ‎（2）平面PAD平面ABCD,平面平面,∴平面ABCD.‎ 以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则,‎ 设,‎ 所以，平面CBQ的一个法向量是，‎ 设平面MQB的一个法向量为，所以 取，‎ 由二面角大小为，可得：‎ ‎，解得，此时.‎ 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法.‎ ‎20. 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) （2）或 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）待定系数法求椭圆方程；（Ⅱ）过焦点的直线分两种情况第一种：垂直于轴的直线，第二种倾斜角不为，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，整理成关于的一元二次方程，利用的面积为，构造关于的方程，求得.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以 ‎②，解①②得.‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）①当直线的倾斜角为时，,‎ ‎，不适合题意.‎ ‎②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，‎ 代入得：‎ 设，则,,‎ ‎，‎ 所以直线方程为：或.‎ 考点：1、椭圆的基本性质；2、直线与椭圆相交问题.‎ ‎21. 已知，‎ ‎（Ⅰ）当时，若在上为减函数，在上是增函数，求值；‎ ‎（Ⅱ）对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)（2）‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入得到和表达式，求导，将已知转化为，，转化恒成立问题，从而求出k的值；第二问，构造函数转化为在上恒成立，对进行二次求导，判断函数的单调性，求出最值，确定a的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，，，，‎ 在上为减函数，则，∴，‎ 在上是增函数，则，∴，‎ ‎（6分）‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则，设则，‎ ‎（1）当时，，所以在上是减函数，在不恒成立；‎ ‎（2）当时，，所以在上是增函数，的函数值由负到正，必有即，两边取自然对数得，，‎ 所以，在上是减函数，上是增函数，‎ 所以，‎ 因此，即a的取值范围是. （12分）‎ 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． ‎ ‎22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：（t为参数），直线与曲线C分别交于M，N． ‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求的值．‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、等比中项等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力.第一问，利用，，将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用直线的参数方程进行消参，得到普通方程；第二问，由于直线与曲线相交，联立方程，利用韦达定理得到和，再利用等比中项得到关系式，将韦达定理代入，解出a的值.‎ 试题解析：（1）（4分）‎ ‎（2）直线的参数方程为（t为参数）,代入得到 ‎,‎ 则有，，‎ 因为，所以，‎ 即，即 解得10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、等比中项.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式: ；‎ ‎（Ⅱ）当时, 不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于，可以转化为，所以分3种情况，，进行讨论去掉绝对值符号解不等式；第二问，，所以利用不等式的性质得到最大值代入上式，解不等式，得到a的取值范围.‎ 试题解析：（1）原不等式等价于:当时,,即；‎ 当时,,即； 当时,,即.‎ 综上所述,原不等式的解集为. （5分）‎ ‎（2）当时,‎ ‎= ‎ 所以 ‎（10分）‎ 考点：绝对值不等式的解法、不等式的性质.‎