2020年高中数学第二章事件的相互独立性

2020年高中数学第二章事件的相互独立性

‎2.2.2‎‎ 事件的相互独立性 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是(　　)‎ A．互斥但非对立事件　　 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上答案都不对 解析：相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥．故选C.‎ 答案：C ‎2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因事件相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.‎ 答案：B ‎3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由P(A)＝P(B)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，‎ ‎∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，‎ ‎∴P()＝P()＝.‎ ‎∴P(A)＝.‎ 答案：D ‎4．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是 6‎ ‎，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以 P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)‎ ‎＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)‎ ‎＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)‎ ‎＝××＋××＋××＝.‎ 答案：B ‎5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．‎ 依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.‎ 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则 C＝(A)∪(B)，且A和B互斥．‎ 故P(C)＝P((A)∪(B))＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.‎ 答案：C ‎6．某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．‎ 解析：P＝××＝.‎ 6‎ 答案： ‎7．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．‎ 解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.‎ 答案：0.98‎ ‎8．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．‎ 解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.‎ 答案： ‎9．从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A为“抽得K”，事件B为“抽得红牌”，事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？‎ 解析：由于事件A为“抽得K”，事件B为“抽得红牌”，故抽到的红牌中可能抽到红桃K或方块K，故事件A与B有可能同时发生，显然它们不是互斥或对立事件．‎ 下面判断它们是否相互独立：“抽得K”的概率为P(A)＝＝，“抽得红牌”的概率为P(B)＝＝，“既是K又是红牌”的概率为P(AB)＝＝.因为＝×，所以P(AB)＝P(A)P(B)．因此A与B相互独立．‎ ‎10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.‎ ‎(1)求恰有一名同学当选的概率；‎ ‎(2)求至多有两人当选的概率．‎ 解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C，‎ 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.‎ ‎(1)易知事件A、B、C相互独立，‎ 6‎ 所以恰有一名同学当选的概率为 P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)‎ ‎＝××＋××＋××＝.‎ ‎(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.‎ 答案：B ‎2．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则等于(　　)‎ A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P (A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．‎ 答案：C ‎3．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．‎ 解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．‎ ‎∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立．‎ 6‎ ‎∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P((A∩B)∪(∩))＝P(A∩B)＋P(∩)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.‎ 答案： ‎4．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.‎ 解析：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件．‎ 由题意可知 得 所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.‎ 答案：0.2　0.25　0.5‎ ‎5．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．‎ 解析：设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．‎ ‎(1)恰好摸到1个红球的概率为 P(A1)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝；‎ P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，‎ 6‎ P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，‎ P(X＝0)＝1－－－＝.‎ 综上可知，获奖金额X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P ‎6.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：‎ 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；‎ 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．‎ 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．‎ ‎(1)求该应聘者用方案一通过的概率；‎ ‎(2)求该应聘者用方案二通过的概率．‎ 解析：记“应聘者对三门考试及格”分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.‎ ‎(1)该应聘者用方案一通过的概率为 P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)‎ ‎＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9‎ ‎＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.‎ ‎(2)应聘者用方案二通过的概率为 P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)‎ ‎＝(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9)‎ ‎＝×1.29＝0.43.‎ 6‎