数学卷·2018届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试（2017

数学卷·2018届甘肃省天水市一中高三上学期第三阶段考试（2017

天水一中2015级2017-2018学年度第一学期第三次阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．设集合A={x||x－1|≤2}，B={x|x2－4x>0，x∈R}，则A∩（）= ( )‎ ‎ A. [－1，3] B. [0，3] C. [－1，4] D. [0，4]‎ ‎2．设是虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A.4 B.4 C.-4 D.-4 ‎ ‎3．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设变量满足约束条件则的最大值为 A．-2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是( )‎ A. 50 B. 25 C. 100 D. 2 ‎ ‎7．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)．‎ A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0‎ ‎8．阅读右侧的算法框图，输出的结果的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎10．（理科）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎10.（文科）已知表示两条不同的直线， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①， ， ，则；‎ ‎②， ， ，则 ‎③；‎ ‎④若，则 其中正确的命题个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎11.三棱锥中， 互相垂直， ， 是线段 上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．函数的大致图像为（ ）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13．命题“都有”的否定： ．‎ ‎14．函数的值域为____________.‎ ‎15．已知方程+－=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是 ‎ ‎16．已知函数的定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 下列关于的命题：‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数在上减函数；‎ ‎③如果当时，的最大值是2，那么的最大值是4；‎ ‎④当时，函数有4个零点；‎ ‎⑤ 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4．‎ 其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）．‎ 三、解答题 ‎17．（本小题12分）已知中，三个内角、、的对边分别是、、，其中，且.‎ ‎（1）求证： 是直角三角形；‎ ‎（2）设圆过、、三点，点位于劣弧上， .求四边形的面积.‎ ‎18．（本小题12分）设数列满足，且．‎ ‎（）求的值．‎ ‎（）证明：数列为等比数列，并求出数列的前n项和．‎ ‎（）若数列，求数列的前n项和．‎ ‎19．（理科）（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中点。‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面AMN； ‎ ‎（2）求二面角M－AC－N的余弦值。 ‎ ‎19．（文科）（本小题12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，是正三角形，平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（理科）（本小题12分）已知椭圆 的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．‎ ‎20.（文科）（本小题12分）已知直线被圆所截得的弦长为8.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.‎ ‎21．（理科）（本小题12分）已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若恒有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个相异极值点， ，求证： ．‎ ‎21．（文科）（本小题12分）已知函数(≠0,∈R) ‎ ‎(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若在区间（0，e］上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向曲线C引切线，求切线长的最小值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 1． B 2．D 3．D 4．C 5．C ‎ 6． B 7．B 8．B 9．D 10．理科C 10．文科C ‎ 11. C 12．D.‎ ‎13．使得 14．‎ ‎15．相切 16．②⑤‎ ‎17．【解析】1）证明：根据正弦定理得， 整理为， ，即 或， .‎ ‎ 舍去. 即.‎ 故是直角三角形.‎ 解：由（1）可得： ， .在中，‎ ‎, .‎ ‎ .‎ 连结，在中， .‎ 四边形的面积 ‎ ‎ .‎ ‎18．【解析】（），，，．‎ ‎（）由，得，又，可知是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（），即，，∴，∴‎ 19． 理科 ‎【解析】方法一、传统几何 ‎（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中点，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC；‎ ‎（2）这里也有多种方法：‎ 连接BD交AC与点O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。‎ ‎（亦可把二面角M－AC－N，拆成两个二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面体MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角）‎ ‎ 方法二、向量几何 MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD为正方形DA⊥DC，故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系。‎ 则各点的坐标A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），‎ E（，，1） ‎ ‎ （1） ·=…=0MN⊥AE；‎ ‎·=…=0MN⊥AC ‎ 又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC； ‎ ‎ （2）不妨设平面AMC的法向量为=（1，y，z），平面ANC的法向量为=（1，m，n） 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=（1,1,1）‎ 由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=（1,1，－1）‎ ‎ Cos<,>== ‎ 19. 文科 ‎【解析】（1）由，，，利用余弦定理，可得 ‎，‎ 故，又由平面平面，可得平面，又平面，故．‎ ‎（2）解：由（1）知平面，又平面，故平面平面．取的中点，连结，由于是正三角形，故．‎ 可知平面，即为三棱锥的高．‎ 在正中，，故．‎ 三棱锥的体积．‎ ‎20．理科 解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，‎ 所以，‎ 又椭圆的离心率为，即，所以， 所以，. ‎ 所以，椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）不妨设的方程，则的方程为.‎ 由得，‎ 设，，因为，所以，‎ 同理可得， 所以，， ‎ ‎，设，则，‎ 当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.‎ ‎20文科．【解析】（1）因为圆的圆心到直线的距离为，‎ 所以.‎ 所以圆的方程.‎ ‎（2）设直线与圆切于点，则.‎ 因为，所以圆的切线的斜率为.‎ 则切线方程为，即.‎ 则直线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为.‎ 所以围成的三角形面积为.‎ 因为，所以.当且仅当时，等号成立.‎ 因为，,所以，所以.‎ 所以当时，取得最小值18.所以所求切点的坐标为.‎ ‎21．理科 【解析】（Ⅰ）由，恒有，即， 对任意成立，‎ 记， ，‎ 当， ， 单调递增；‎ 当， ， 单调递减，‎ 最大值为，‎ ‎∴， ．‎ ‎（Ⅱ）函数有两个相异的极值点， ，‎ 即有两个不同的实数根．‎ ‎①当时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；‎ ‎②当时，设，则，‎ 当时， ， 单调递增；‎ 当时， ， 单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ 不妨设，∵，‎ ‎∴， ， ，‎ 先证，即证，‎ 即证，‎ 令，即证，设，‎ 则，函数在单调递减，‎ ‎∴，∴，又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎21．文科 【解析】（I）因为 当a=1，，‎ 令，得，‎ 又的定义域为，随的变化情况如下表：‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以时，的极小值为1．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（II）因为，且 令，得到，‎ 若在区间（0，e］上至少存在一点，，使得成立，‎ 其充要条件是在区间（0，e］上的最小值小于0即可．‎ 当＜0，‎ 即时，对成立，‎ 所以，在区间（0，e］上单调递减， 故在区间（0，e］上的最小值为，‎ 由，得，即 当＞0，即时，‎ 若，则对成立，‎ 所以在区间上单调递减，‎ 所以，在区间上的最小值为＞0，‎ 显然，在区间上的最小值小于0不成立；‎ ‎②若，即时，则有 ‎(0，)‎ ‎(，e)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上的最小值为， 由＝a(1−lna)＜0， 得，解得，即．‎ 综上，由（1）（2）可知：符合题意．‎ ‎22．【解析】（1），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 即，． （6分）‎ ‎（2）：直线上的点向圆C 引切线长是 ‎， ‎ ‎∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 ‎ ‎23．（1）当时，，‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2）‎ 当且仅当等号成立，所以，都有成立只需，‎ 当，即时，上式成立，‎ 当，即时，，‎ 解得 综上所述，，所以，的取值范围是.‎