专题20+不等式选讲-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点
1．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解 f(x)＝
从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
2．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1
0，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
3．解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
4．设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件．
解 因为a，b，c均为正实数，
所以≥≥，
当且仅当a＝b时等号成立；
≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；
≥≥，当且仅当a＝c时等号成立．
三个不等式相加，得＋＋≥＋＋，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
5．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
易错起源1、含绝对值不等式的解法
例1、已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3
【变式探究】已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
(1)证明 f(x)＝|x－2|－|x－5|＝
当2a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)⇔－ay.求证：2x＋≥2y＋3.
(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，
求证：|y|<.
证明 (1)因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：≤＋.
(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：＋＋≥1.
证明 (1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，所以＝≤＝≤＋.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
【名师点睛】
(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
易错起源3、柯西不等式的应用
例3 (2015·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，
即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解 因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
【名师点睛】
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
【锦囊妙计，战胜自我】
柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b
)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|－1时，不等式的解集不是空集．
即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
2．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤(＋)·(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y时等号成立．
∴(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为－1，]．
4．设不等式|x－2||x＋1|成立，求实数x的取值范围．
解 由柯西不等式知
12＋()2＋()2]a2＋(b)2＋(c)2]
≥(1·a＋·b＋·c)2
即6×(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－70.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．
由题设可得－＝－1，故a＝2.
8．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解得a≥2.
所以a的取值范围是2，＋∞)．
