广东省惠来一中2013届高三第二次阶段考试数学理试题

广东省惠来一中2013届高三第二次阶段考试数学理试题

惠来一中2013届第二次阶段考试 数学 (理科） ‎ ‎（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效. ‎ 参考公式：如果在事件发生的条件下，事件发生的条件概率记为,‎ 那么.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 已知集合，集合，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．若是真命题，是假命题，则（　　）‎ A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题 ‎3．的展开式中的系数是（ ）‎ A．6 B．‎12 C．24 D．48‎ ‎4．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是( )‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎5．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） ‎ ‎ ‎ 开始 输出 结束 是 否 ‎6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）．‎ A． B．　 　C． 　D． ‎ ‎7．已知、的取值如下表所示：若与线性相关，‎ 且，则（　　）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8．对实数和，定义运算“”：．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )．‎ A．　　B．　C．　　D．‎ 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）‎ ‎（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ ‎9.复数Ｚ＝（i是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于 ．‎ ‎10.若向量，，则与夹角余弦值等于_____________．‎ ‎11.已知函数则= ．‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱锥 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ 正方体 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎12.计算： 　　 ．‎ ‎13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F、V、E之间的关系等式：‎ ‎ ．‎ ‎（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。‎ ‎·‎ A B C D O ‎14．（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为 ．‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为．‎ ‎（1）求的解析式  ；  ‎ ‎（2）若  ，求 的值．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动.‎ ‎（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及；‎ ‎（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；‎ ‎（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 如图，已知平面，，△是正三角形，，且是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求平面与平面所成锐二面角的大小。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，．‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）设， 求证： .‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ ‎(1)求椭圆的方程：‎ ‎(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知三次函数．‎ ‎（1）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，若，试求的取值范围；‎ ‎（3）对，都有，试求实数的最大值，并求取得最大值时的表达式．‎ 惠来一中2013届第二次阶段考试 数学 (理科）参考答案与评分标准 一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D C C C B D B ‎1．【解析】由交集的定义选A.‎ ‎2．【解析】或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D ‎ ‎3．【解析】，令 的系数为．故选．‎ ‎4.【解析】在中，若，则即 ‎ ．故选．‎ ‎5．【解析】因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选 ‎6．【解析】第一步：，第二步：，输出．故选B ‎ ‎7．【解析】，线性回归直线过样本中心点 ‎．故选D．‎ ‎8．【解析】由题设 画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，，，，． 从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15‎ 题是选做题，考生只能选做一题．‎ ‎9．1 10． 11． 12． 13． ‎ ‎14． 15． ‎ ‎9．【解析】．虚部为1．‎ ‎10．【解析】‎ ‎11.【解析】因函数所有 ‎12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：的面积。.‎ ‎13.【解析】‎ 三、解答题：‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 解：（1）图象上相邻的两个最高点之间的距离为, ‎ ‎, 则.. ………2分 是偶函数, , 又，．‎ 则　． ………5分 ‎（2）由已知得，．‎ 则． ………8分 ‎…12分 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：‎ ‎ 　 --------３分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　 　----------------５分 ‎（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则 所求概率为 -------------８分 ‎（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，‎ ‎ 　　　　　　　　 ------------10分 ‎（或直接得　 ------------1２分 ‎18. （本小题满分14分）‎ 解：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，‎ ‎∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=‎ 又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，‎ ‎∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。 -------------------2分 又∵AF平面BCE，BP平面BCE，‎ ‎∴AF//平面BCE。 -------------------4分 ‎ （2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE//AB，‎ ‎∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，‎ ‎∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，‎ ‎∴AF⊥平面CDE。 --------------------------------6分 又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE。 ------------------------8分 ‎ （3）法一、由（2），以F为坐标原点，‎ FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），‎ 建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，‎ 则C（0，—1，0），----------------------------9分 ‎ ------11分 显然，为平面ACD的法向量。‎ 设面BCE与面ACD所成锐二面角为 则.‎ 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°. -----14分 法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO．‎ 则．‎ 由ＡＢ是的中位线，则．‎ 在， ．‎ ‎，又．‎ ‎．----------------------------12分 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.-------------------------14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q，‎ 由题知: ， ，‎ 解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1； ----------------------5分 ‎ ； ------------------------7分 ‎ （2）证明：， ．‎ ‎　法一、　下面用数学归纳法证明对一切正整数成立．‎ ‎（１），命题成立． ------------------8分 ‎（２）‎ 则当＝‎ ‎＝，这就是说当时命题成立。--12分 综上所述原命题成立． -----------------------------------１４分 法二、‎ ‎ --------------------------14分 法三、设数列，，则 ---------------9分 ‎ --------12分 数列单调递增，于是，而 ‎ ------------------------------14分 ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎（1）解：由，得，再由，得----2分 由题意可知， 解方程组 得---5分 所以椭圆的方程为 --------6分 ‎(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为, --------7分 于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，‎ 得 --------8分 由得--------9分 设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎------11分 ‎②当k时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得 由 整理得---13分 综上。--------14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）∵函数过点，∴， ①‎ 又，函数点处的切线方程为，‎ ‎∴，∴， ②‎ 由①和②解得，，，故 ； -------------4分 ‎（2）法一、 ‎ 可得： ----------------------6分 ‎ ----------------7分 ‎。‎ ‎．--------------------9分 法二、 又 ‎ ‎（★）‎ 作出（★）不等式表示的平面区域如图：‎ 目标函数： ----------7分 如图示当直线过点时，‎ 取最大值16.‎ 当直线过点时，‎ 取最小值1.‎ 综上所得：--9分 ‎（3）∵，‎ 则 ，可得． -------10分 ‎ ‎∵当时，，∴，，， ‎ ‎∴，----12分 ‎∴，故的最大值为， ‎ 当时，，解得，，‎ ‎∴取得最大值时．------------------------------14分