数学理（普通班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三下学期开学考试（2017

数学理（普通班）卷·2017届陕西省黄陵中学高三下学期开学考试（2017

黄陵中学高三开学考试理科普通班 数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则 ( ).‎ ‎ A B C D ‎ ‎2．复数 ( 为虚数单位) ，则 =（ ）‎ A B C D ‎ ‎3．平面向量，共线的充要条件是（ ）‎ ‎ A ，方向相同 B ，两向量中至少有一个为零向量 ‎ C ，使得 D 存在不全为零的实数，，‎ ‎4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( ) ‎ A 3 B 4 C 5 D 6‎‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.已知下列命题：‎ ‎①命题“ ＞3x”的否定是“ ＜3x”；‎ ‎②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；‎ ‎③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.‎ ‎④已知p、q为两个命题，若“ ”为假命题，则 “ ”为 ‎ 真命题。 其中真命题的个数为（ ）‎ A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 ‎6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是　(　　)‎ A．(-1，1，0) B．(1，-1，0) C．(0，-1，1) D．(-1，0，1)‎ ‎7．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A、B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=　(　　)‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎8．若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的　(　　)‎ 9． 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF、BF. 若|AB|=10,|BF|=8，cos∠ABF=,则C的离心率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若抛物线y²=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.‎ ‎14．已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.‎ ‎15．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________.‎ ‎16．双曲线的右焦点为F，左、右顶点为A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为__________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ ‎(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件？‎ ‎(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件？‎ ‎18. （本题满分12分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，D为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为 .‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎ (2)设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n.证明是定值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F ‎，抛物线上一点A的横坐标为2，且.‎ ‎(1)求此抛物线C的方程.‎ ‎(2)过点(4，0)作直线l交抛物线C于M、N两点，求证：OM⊥ON ‎21．（本题满分12分）已知函数 ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线 相切，求直线的方程；‎ ‎（3）设函数其中，求函数在上的最小值.（其中为自然对数的底数）‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求不等式 的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 数学（理科）试卷答案 一.选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1-6 B C D B C B 7-12 B C D B D B 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13 （-9,6）或（-9，-6） 14 15 16 ‎ 三．解答题（共70分）‎ D ‎17.（10分） (1)欲使得是的充分条件, 则只要或, 则只要 即, 故存在实数时, 使是的充分条件. (2)欲使是的必要条件, 则只要或, 则这是不可能的, 故不存在实数m时, 使是的必要条件.‎ ‎18. ‎ 解：（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．‎ ‎∵是矩形，∴是的中点．‎ 又是的中点，∴∥． ………2分 ‎∵平面，平面， ………3分 ‎∴∥平面． ………4分 ‎（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，， ………5分 设是平面的一个法向量，‎ 则即 令，则， ………7分 易知是平面的一个法向量， ………8分 ‎∴， ………9分 由题意知二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ………10分 ‎（Ⅲ）假设侧棱上存在一点 ()，使得平面．‎ 则，即∴． ………12分 ‎∴方程组无解．∴假设不成立．‎ ‎∴侧棱上不存在点，使⊥平面．‎ ‎19. （1）易知 双曲线的方程是. ‎ ‎（2）设P，已知渐近线的方程为：‎ 该点到一条渐近线的距离为：‎ 到另一条渐近线的距离为 是定值.‎ ‎20. （1）根据题意，设抛物线的方程为（），因为抛物线上一点的横坐标为，设，因此有，       ......1分 因为，所以，因此，     ‎ ‎ ......3分 解得，所以抛物线的方程为；       ......5分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，此时的方程是：，因此，，因此，所以OM⊥ON；      ......7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程是，因此，得，设，，则，，，   ......9分 所以，所以OM⊥ON。       ......11分 综上所述，OM⊥ON。 ......12分 ‎21. 解：（1）＞0.……………………1分 ‎ 而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.……………3分 ‎ 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.………………4分 ‎（2）设切点坐标为，则切线的斜率为 ‎ 所以切线的方程为……………………5分 ‎ 又切线过点，所以有 ‎ 解得 ‎ 所以直线的方程为…………………………………………7分 ‎ （3），则 ‎ ＜0＜00＜＜＞0＞‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.…………9分 ‎ ①当即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值为 ‎②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 在上的最小值为 ‎③当即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值为 综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为……………………………………12分 ‎    ‎ ‎22 解：（Ⅰ）原不等式等价于 或 解之得.‎ 即不等式的解集为. ………………7分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎，解此不等式得. ………………12分 ‎（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）‎