陕西省黄陵中学（普通班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

陕西省黄陵中学（普通班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

高二普通班期末考试 数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.过点且斜率不存在的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，结合直线的方程的形式即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，过点且斜率不存在的直线方程为 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程，注意垂直x轴的直线的形式，属于基础题．‎ ‎2.空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离 ‎【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），‎ ‎∴|AB|，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题，‎ ‎3.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一般方程表示圆得的不等式求解 ‎【详解】由题，则解得 故选：A ‎【点睛】本题考查圆的一般方程，是基础题 ‎4.直线和直线平行，则实数 的值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a•（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出．‎ ‎【详解】由a•（a+2）+1＝0，即a2+‎2a+1＝0，解得a＝﹣1．‎ 经过验证成立．‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号，14～26号，…，118～130号），若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是（ ）‎ A. 36 B. ‎37 ‎C. 38 D. 39‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用系统抽样的特点，确定组数和每组的样本数，写出每组抽取号码的表达式，确定第一组的抽取号码，带入求出第三组的号码.‎ ‎【详解】由题，可知系统抽样的组数为10组，间隔为13，设第一组抽取的号码为x，‎ 有系统抽样的法则，可知第n组抽取的号码为x+13(n-1)，所以第9组抽取的号码为：‎ x+13(9-1)=114，解得x=10,‎ 所以第3组抽取的号码为：10+13(3-1)=36‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题目考查了系统抽样的法则，可知第n组抽的个数号码为x+间隔（组数-1），属于基础题.‎ ‎6.如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是　　‎ A. 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B. 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C. 收入最少的月份的利润也最少 D. 收入最少的月份的支出也最少 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用收入与支出单位：万元情况的条形统计图直接求解．‎ ‎【详解】在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；‎ 在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；‎ 在C中，收入最少月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；‎ 在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查收入与支出单位：万元情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎7.如图所示，执行如图的程序框图，输出的S值是　　‎ A. 1 B. ‎10 ‎C. 19 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐条执行程序框图即可．‎ ‎【详解】由程序框图得：‎ ‎,,‎ 成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ 成立，‎ 不成立，‎ 输出：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图知识，只需逐条执行即可看出规律，属于基础题．‎ ‎8.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）‎ A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由样本的数字特征一一排除即可．‎ ‎【详解】A样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：，众数为：42，中位数为：，‎ 由题可得，B样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：，众数,34，中位数：，‎ 所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，属于基础题．‎ ‎9.已知命题p：∀x∈R，2mx2+mx-＜0，命题q：‎2m+1＞1．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. （-3，-1）∪[0，+∞） B. （-3，-1]∪[0，+∞）‎ C. （-3，-1）∪（0，+∞） D. （-3，-1]∪（0，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解法分别求出命题p，q为真命题的等价条件，再结合复合命题真假关系分类讨论进行求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当m=0时，2mx2+mx-＜0等价-＜0，则不等式恒成立，‎ 当m≠0时，要使2mx2+mx-＜0恒成立，则即，得-3＜m＜0，‎ 综上-3＜m≤0，即p：-3＜m≤0，‎ 又由‎2m+1＞1得m+1＞0，得m＞-1，即q：m＞-1‎ 若“p∧q”为假，“p∨q”为真，‎ 则p，q一个为真命题一个为假命题，‎ 若p真q假，则，，得-3＜m≤-1，‎ 若p假q真，则，即m＞0，‎ 综上-3＜m≤-1或m＞0，‎ 即实数m的取值范围是（-3，-1]∪（0，+∞），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题真假关系的应用，其中解答中正确求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键，同时注意要对p，q的真假进行分类讨论，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，面积为 考点：线面角 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 设过点的直线与椭圆相交于两点，‎ ‎ 由中点坐标公式可得，‎ 则，两式相减得，‎ 所以，所以直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，整理得，故选A．‎ ‎12.设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．‎ 详解：由题可知 在中，‎ 在中,‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.命题，使得，则是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依据一个量词的命题的否定的形式，“命题，使得”的否定是“”，故应填答案．‎ ‎14.关于不等式的解集为 ，则_____________‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ 由题意易知：，是方程的两根，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ ‎∴‎ 故答案为-5‎ 点睛：一元二次方程的根是相应的一元二次函数的零点，是相应的一元二次不等式解集的端点，在本题中，解集的端点值就成为了一元二次方程的根，利用根与系数的关系，即可得到关于a，b的方程组，从而得到的值.‎ ‎15.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定实数a,b的关系，然后结合点到直线距离公式求解的最小值即可.‎ ‎【详解】由题意可得直线过圆心，即：，‎ 据此可得：，则点在直线上，‎ 表示直线上的点与点之间距离的平方，‎ 点到直线的距离为：，‎ 据此可得：的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，将四面体补形为一个长宽高分别为的长方体，‎ 设外接球的半径为，则：，‎ 据此可得三棱锥的外接球的表面积为：.‎ 三、解答题（17题10分，其余题12分）‎ ‎17.求焦点在轴上，且经过两个点和的椭圆的标准方程；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出椭圆的方程，再将点和代入，得到一个方程组，解出，的值即可.‎ ‎【详解】椭圆的焦点在轴上，‎ 设它的标准方程为,‎ 又椭圆经过点和，‎ ‎，解之得：，‎ 所求椭圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，解题关键是正确设出方程，从而建立方程组解得，的值，属于基础题.‎ ‎18.设命题p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．‎ ‎（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；‎ ‎（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。‎ ‎【详解】（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+‎3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜‎ ‎0，‎ 解得1＜x＜3；‎ 若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．‎ ‎∵p∧q为真命题，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是（2，3）‎ ‎（2）由x2﹣4ax+‎3a2＜0，解得（x﹣‎3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜‎‎3a 设p：A＝{x|a＜x＜‎3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴BA．‎ ‎∴，解得1≤a≤2‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，2]‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假判断以及充分、必要条件与集合之间的包含关系应用，意在考查学生的转化能力与数学计算能力，属于中档题．‎ ‎19.直三棱柱中，若，，，求点到平面的距离 ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可以证明出平面平面，通过面面垂直的性质定理，可以过作，则的长为到平面的距离，利用几何知识求出.‎ ‎【详解】∵，，∴平面，‎ 又∵平面，平面平面.‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴过作，则的长为到平面的距离，‎ 在中，.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体中点、线、面的位置关系以及点、线、面的距离计算,解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.‎ ‎20.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： ,参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）49.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎【详解】（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且经过点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在经过点直线，它与椭圆相交于两个不同点，且满足为坐标原点）关系的点也在椭圆上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ； (2)存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆离心率为，得，将点代入椭圆方程，即可求解；‎ ‎（2）分类讨论当斜率不存在时和斜率存在时直线是否满足题意，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理用点的坐标代入运算即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）由椭圆的离心率为，得，再由点在椭圆上，得 解得，所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）因为点在椭圆内部，经过点的直线与椭圆恒有两个交点，假设直线存在，‎ 当斜率不存在时，经过点的直线的方程，与椭圆交点坐标为 或，‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 点不在椭圆上；‎ 当时，‎ ‎，‎ 同上可得：不椭圆上，‎ 所以直线不合题意；‎ 当斜率存在时：设 ‎，‎ 设，由韦达定理得 因为点在椭圆上，因此得，‎ 由， ‎ 由于点也在椭圆上，则 ‎，整理得，‎ ‎，即 所以 因此直线的方程为 ‎【点睛】此题考查求椭圆标准方程和直线与椭圆综合问题，解决直线与圆锥曲线问题的关键在于准确将几何关系转化为代数关系，通过韦达定理整体代入和点的坐标关系求解是一类重要的解决办法.‎ ‎22.已知函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;‎ ‎(2)构造新函数，利用导数研究函数的单调性并结合零点存在性定理求解.‎ ‎【详解】(1)由题可得函数的定义域为，，‎ 令，可得；令，可得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值．‎ ‎（2）即，即，‎ 因为当时，关于的不等式恒成立，‎ 所以当时，．‎ 令，，则，‎ 设，易知函数在上单调递增，‎ 又，，‎ 所以存在，使得，即，‎ 所以当时，；当时，，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 由可得，‎ 所以，，，‎ 由（1）知，函数在在上单调递增，所以，，‎ 所以，所以，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值以及导数的应用、不等式恒成立问题.是难题.‎