2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，复数，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.‎ 详解：,‎ 故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.‎ ‎2．若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：把A中元素代入B中解析式求出y的值，确定出B，找出两集合的公共元素，从而求得其交集.‎ 详解：把A中代入B中得：，即，‎ 则 故选C.‎ 点睛：由二次函数的值域求法，运用列举法化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求.‎ ‎3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据题中所给的函数的定义域为，得到和 同时有意义以及分母不等于零的条件，得到所满足的条件，求得的范围，进一步求得函数的定义域.‎ 详解：由题意可得，解得，‎ 所以函数的定义域为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关函数定义域的求解问题，需要注意函数定义域的定义是使得式子有意义的的取值所构成的集合，注意抽象函数定义域确定的原则，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，最后求得结果.‎ ‎4．“若或，则”的否命题是（ ）‎ A. 若且，则.‎ B. 若且，则.‎ C. 若且，则.‎ D. 若或，则.‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据原命题的否命题是条件和结论同时否定，得到的命题是否命题，注意“或”的否定为“且”.‎ 详解：根据命题否定的规则，‎ 可知“若或，则”的否命题是“若且，则.”‎ 故选B.‎ 点睛.该题考查的是有关四种命题的问题，关于原命题的否命题的形式是条件和结论同时否定，此时要注意“或”的否定为“且”.‎ ‎5．条件：，条件：，则是的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知中条件：，条件：，我们可以求出对应的集合P,Q,然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案.‎ 详解：条件：，‎ 条件：，‎ ‎ ‎ q是p的充分但不必要条件 根据互为逆否的两个命题真假性一致可得 是的充分但不必要条件.‎ 故选A.‎ 点睛:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q和p之间的关系式解答本题的关键.‎ ‎6．从，，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数均为偶数”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：用列举法求出事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求出，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果.‎ 详解：事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件有：‎ ‎（1,3）、（1,5）、（3,5）、（2,4），‎ 事件B=“取到的个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)‎ 故选D.‎ 点睛：利用互斥事件的概率及古典概型概率公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解.‎ ‎7．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与大小不确定 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知条件，结合奇函数的定义域必然关于原点对称可得 解得或；故需对或两种情况分别进行讨论，从而确定结果.‎ 详解：幂函数是定义在区间上的奇函数，‎ 解得或.‎ 当时，函数 当时，函数且，不合题意；‎ 综上可知 故选A.‎ 点睛：根据奇函数的定义域关于原点对称的性质求出m，然后根据幂函数的性质即可得出结论.‎ ‎8．从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分布计数原理得到结果.‎ 详解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，‎ 然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选.‎ 共有 故选C.‎ 点睛：分步要做到“步骤完整”-----完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分布后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.‎ ‎9．（原创）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，.则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据题中所给的条件，判断出函数图像的轴对称性以及函数的周期性，并求得函数的周期，应用函数的周期性，得到函数值之间关系，最后求得结果.‎ 详解：根据题意，是偶函数，且对任意的实数，都有，‎ 得到其图像关于直线对称，并且其周期为2，‎ 所以有，‎ 从而得到 ，‎ 故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关函数值的求和问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的奇偶性，函数的周期性等，正确处理函数值之间的关系式解题的关键.‎ ‎10．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数，把原不等式转化为，结合求得x的范围.‎ 详解：‎ 则函数是区间上的增函数.‎ 由不等式，得 ‎，解得，‎ 又由，得，即 ‎.‎ 故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.‎ ‎11．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛，另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时，发现甲共打局，乙共打局，而丙共当裁判局.那么整个比赛的第局的输方（ ）‎ A. 必是甲 B. 必是乙 C. 必是丙 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙共打了4局，利用乙共打局，因此乙丙打了13局，因此共打了25局，那么甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判，因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、……、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲.‎ 详解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，‎ 又甲共打了12局，乙共打了21局，‎ 所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，‎ 三人之间总共打了（8+4+13）=25局，‎ 考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，‎ 所以他输了12次.‎ 所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，‎ 从而整个比赛的第10局的输方必是甲.‎ 故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关排列组合在打比赛中的应用，在解题的过程中，涉及到的知识点有分类加法计数原理，以及推理问题，正确理清其关系式解题的关键.‎ ‎12．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可.‎ 详解：设 两个函数图象如图：‎ 要使存在唯一的正整数 使得只要即 解得 故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用，在解题的过程中，要正确理解零点存在性定理的内容，会利用其得到相关的不等式组，并且结合图形来研究.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知随机变量，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.‎ 详解：随机变量服从正态分布 曲线关于x=1对称，‎ ‎ ‎ 故答案为：0.8.‎ 点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.‎ ‎14．的展开式中， 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.‎ 考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.‎ 视频 ‎15．定义在上的单调函数，满足对，都有，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式即可.‎ 详解：因为函数是定义在上的单调函数，‎ 对 恒成立 所以存在常数c，使得，‎ 又 ‎.‎ 故答案为10.‎ 点睛：该题考查的是有关求函数值的问题，在解题的过程中，需要明确常函数的概念，以及会应用题的条件，得到相应的关系式，求得结果.‎ ‎16．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在的一一对应关系时，即只有当时，才会存在一一对应.‎ 详解：根据的函数，易得出其值域为：R，‎ 又时，值域为 时，其值域为R，‎ 的值域为上有两个解，‎ 要想，在上只有唯一的，‎ 必有，‎ 所以：‎ 解得：，‎ 当时，x与存在一一对应关系，‎ 且，‎ 所以有：，‎ 解得：或者（舍去），‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关参数的取值范围及最值的问题，在解题的过程中，需要认真审题，理解存在唯一的x满足条件的等价结果是函数关系式一一对应的，从而得到相应的式子，求得结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．第届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况，随机调查了该校名学生，并将这名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类，已知这名学生中男生比女生多人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少人.‎ ‎（1）根据题意建立列联表，判断是否有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？‎ ‎（2）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取人，再从这人中随机选出人参与世界杯足球赛宣传活动，求这人中至少有一个男生的概率.‎ 附：，.‎ ‎【答案】(1) 没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异(2)‎ ‎【解析】分析：(1)根据题中的条件，得到相关的数据，从而列出列联表，根据公式求出的值，与临界值比较，即可得出结论；‎ ‎(2)根据比例，即可确定男生和女生抽取的人数，确定所有基本事件、满足条件的基本事件，即可求出至少有一个男生的概率.‎ 详解：（1）可得列联表为：‎ 非常关注 一般关注 合计 男生 女生 合计 ‎，所以没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异.‎ ‎（2）由题意得男生抽人，女生人，.‎ 点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有列联表，独立检验，古典概型等，在解题的过程中，注意从题的条件中读取相关的信息，合理利用题的条件是解题的关键.‎ ‎18．今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的网红景点，把重庆推上全国旅游人气搒的新高.外地客人小胖准备游览上面这 个景点，他游览每一个景台的概率都是，且他是否游览哪个景点互不影响.设表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.‎ ‎（1）记“函数是实数集上的偶函数”为事件，求事件的概率.‎ ‎（2）求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)分布列见解析，‎ ‎【解析】分析：(1)根据函数是偶函数的条件，从而有，得到，根据独立重复试验中，相应的概率公式求得结果；‎ ‎(2)根据题意，得到的可取值，求得对应的概率，列出分布列，利用期望公式求得的值.‎ 详解：（1）因为在上的偶函数，所以；‎ 从而.‎ ‎（2）显然的可能取值为，，，；‎ ‎ ；；‎ 所以的分布列为：‎ ‎.‎ 点睛：该题考查的是有关概率的求解以及分布列和其期望的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有独立重复试验中成功次数对应的概率，随机变量的分布列以及期望，正确理解题意是解题的关键.‎ ‎19．如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且 ‎，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】分析：(1)根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；‎ ‎(2)建立相应的空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的正弦值，从而求得角的大小.‎ 详解：（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.‎ ‎（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，.又，，∴.‎ 令，则，，∴.‎ 设与平面所成的角为.∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成角的大小为.‎ 点睛：该题所考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面角的大小的求解，在解题的过程中，需要把握线面垂直的判定定理的内容以及空间向量法求解线面角的思路与过程，建立适当的空间直角坐标系是解题的关键.‎ ‎20．已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.‎ ‎（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；‎ ‎（2）当，，为定值时，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】分析：(1)首先求得双曲线的离心率，从而求得椭圆的离心率，分两种情况求得的值；‎ ‎(2)先设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得M的纵坐标，从而表示出三角形的面积，应用导数求得结果.‎ 详解：（1）双曲线的离心率是，所以的离心率是，所以有或，所以或.‎ ‎（2）易得的方程为，由，得，‎ 解得或，即点的纵坐标，‎ ‎，所以，‎ 令，，由，‎ 当时，；当时，，若，则，故当时，；‎ 若，则.∵在上递增，进而为减函数.∴当时，，‎ 综上可得.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，利用其离心率求其参数的问题，这里需要注意应该分两种情况，再者就是有关椭圆中三角形的面积问题，注意从函数的角度去处理.‎ ‎21．（1）求证：当实数时，；‎ ‎（2）已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.‎ ‎（参考数据：，，，为自然对数的底数）‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】分析：(1)构造新函数，，等价于，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到结果；‎ ‎(2)根据题意，结合函数零点的定义，得到，两式相加，两式相减，简化式子，之后得到，构造新函数，利用导数真的结果.‎ 详解：证明：（1），，则，所以在单调递增，所以，所以.‎ ‎（2）由题意，相加有，①‎ 相减有，从而，代入①有 ‎，即 ，‎ 不妨设，则，由（1）有 .‎ 又 ，‎ 所以，即，设，则，‎ ‎，在单调递增，又，‎ ‎∴ ，∴，∴.‎ 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的零点等，注意认真审题是解题的关键 ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）或或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得 ‎ ，代入韦达定理即得答案 解析：‎ ‎（1），‎ 故曲线的普通方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.‎ 设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到 ，‎ 所以 或，‎ 解得或或.‎ ‎23．关于的不等式的整数解有且仅有一个值为3（为整数）．‎ ‎（1）求整数的值；‎ ‎（2）已知， ， ，若，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出不等式的解，根据其整数解有且仅有一个值为，得到关于的不等式组，解不等式组即得整数的值；（2）利用柯西不等式放缩即可证得结论.‎ 试题解析：（1）由有 关于的不等式的整数解有且仅有一个值为,则,即,又为整数,则 ‎（2）由有,‎ 由柯西不等式有 当且仅当时,等号成立,‎ 所以的最大值为 考点：绝对值不等式的解法及利用不等式求最值.‎