高考数学复习课时提能演练(八十) 选修4-5_2

高考数学复习课时提能演练(八十) 选修4-5_2

‎ ‎ 课时提能演练(八十)‎ ‎1.已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)＞9a2b2.‎ ‎2.已知x,y,z均为正数，求证:‎ ‎3.(2012·潮州模拟)若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m.‎ ‎(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;‎ ‎(2)对任意两个不相等的正数a、b，求证:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.‎ ‎4.(2012·锦州模拟)已知a＞0，求证:‎ ‎5.已知a，b，c均为正数，证明：并确定a，b，c为何值时，等号成立.‎ ‎6.已知数列{an}满足 ‎(1)计算出a2、a3、a4;‎ ‎(2)猜想数列{an}通项公式an,并用数学归纳法进行证明.‎ ‎7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+).‎ ‎(1)求数列{an}的通项;‎ ‎(2)证明:(n∈N+).‎ ‎8.(2012·洛阳模拟)已知数列{an}、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=S2n-Sn，求证:Tn+1＞Tn;‎ ‎(3)求证:对任意的n∈N+有成立.‎ ‎9.已知a,b,c为三角形的三条边,求证:也可以构成一个三角形.‎ ‎10.已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an, n∈N+.‎ ‎(1)求b1、b2、b3的值;‎ ‎(2)设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n;‎ ‎(3)求证:‎ 答案解析 ‎1.【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b2≥=3ab＞0‎ ‎(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);‎ 同理:ab2+a2+b≥=3ab＞0‎ ‎(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时，等号成立);‎ 所以:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥‎9a2b2‎ ‎(当且仅当a=b=1时，等号成立);‎ 因为:a≠b，‎ 所以:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)＞9a2b2.‎ ‎2.【解题指南】由于故可考虑利用基本不等式求解.‎ ‎【证明】∵x,y,z均为正数,‎ ‎∴‎ 同理可得 当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.‎ 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,‎ 得 ‎3.【解析】(1)∵x2-1比3接近0,∴|x2-1|＜3，‎ 解得-2＜x＜2,∴x的取值范围为(-2,2);‎ ‎(2)对任意两个不相等的正数a、b,有 因为 所以 即a2b+ab2比a3+b3接近2ab ‎4.【证明】因为a＞0，所以为了证明 只需证明 即只需证明 即 即只需证明 只需证明即 因为当且仅当a=1时，等号成立.‎ 所以 ‎5.【解析】方法一：因为a、b、c均为正数，‎ 所以 ①‎ ‎ ②‎ 所以 ‎ 故 又 ③‎ 所以原不等式成立.‎ 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立.‎ 当且仅当时，③式等号成立.‎ 即当且仅当时，原式等号成立.‎ 方法二：因为a，b，c均为正数，所以a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥‎2ac，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac. ①‎ 同理 ②‎ 故 ③‎ 所以原不等式成立.‎ 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立.‎ 当且仅当a=b=c，(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，③式等号成立.‎ 即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立.‎ ‎6.【解析】(1)∵‎ ‎(2)由(1)知分子是3,分母是以5为首项,6为公差的等差数列.‎ ‎∴猜想数列{an}通项公式:‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎①当n=1时,由题意可知命题成立;‎ ‎②假设当n=k(k≥1,k∈N)时命题成立,即 那么，当n=k+1时，‎ 也就说，当n=k+1时命题也成立.‎ 综上所述，数列{an}的通项公式为 ‎7.【解析】(1)∵an+1=2an+1(n∈N+),‎ ‎∴an+1+1=2(an+1),‎ ‎∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴an+1=2n,即an=2n-1(n∈N+).‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ ‎∵k=1,2,3,…,n.‎ ‎∴‎ ‎∴ (n∈N+).‎ ‎8.【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1‎ 整理得bn-bn+1=bnbn+1，‎ ‎∵bn≠0,否则an=1，与a1=2矛盾,‎ 从而得 ‎∵b1=a1-1=1，‎ ‎∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎∴=n,即 ‎ (2)∵‎ ‎∴‎ 方法一:∵‎ ‎∴Tn+1＞Tn.‎ 方法二:∵‎ ‎∵2n+1＜2n+2，∴‎ ‎∴‎ ‎∴Tn+1＞Tn.‎ ‎(3)用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时, ‎ 不等式成立;‎ ‎②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，不等式成立，即 那么当n=k+1时 ‎ ‎ ‎∴当n=k+1时,不等式成立.‎ 由①②知对任意的n∈N+不等式成立.‎ ‎9.【证明】①设f(x)= x∈［0,+∞).‎ 则f(x)在［0,+∞)上为单调增函数,事实上设0≤x1＜x2,‎ 则 ‎②因为a，b，c为三角形的三条边,于是a+b＞c.‎ ‎③由①得 即 ‎④同理可证: ‎ 由③,④知以为边可以构成一个三角形.‎ ‎10.【解析】(1)因为a1=1,a2=4,a3=‎4a2+a1=17,a4=72,所以b1=4,b2=b3=‎ ‎(2)由an+2=4an+1+an得 即 所以当n≥2时，bn＞4，于是c1=b1b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1＞17(n≥2),‎ 所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.‎ ‎(3)当n=1时，结论成立.‎ 当n≥2时，有 所以 因此 (n∈N+).‎