2018-2019学年吉林省延边第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年吉林省延边第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

延边第二中学2018-2019学年度第二学期期末考试 高二年级数学（理科）试卷 ‎ （时间120分，满分140分）‎ 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1．复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设函数在处存在导数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．直线与相切,实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）‎ A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元 ‎5．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是（ ）‎ A.70 B.140 ‎ C.420 D.840‎ ‎6．给出以下四个说法：‎ ‎①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；‎ ‎③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；‎ ‎④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．‎ 其中正确的说法是 A．①④ B．②④ C．①③ D．②③‎ ‎7．在中，若，，，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若、、两两互相垂直，，，，则四面体的外接球半径（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8． 如右图，阴影部分的面积是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．已知的展开式中的系数为，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）‎ A．项 B．项 C．项 D．项 ‎12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A． ‎ B． C． D． ‎ 二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）‎ ‎13.已知 则__________．‎ ‎14.若随机变量，则，.已知随机变量，则__________．‎ ‎15．用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有 种。‎ ‎16．已知函数有两个零点，，则下列判断：‎ ‎①；②；③；④有极小值点，且.‎ 则正确判断的个数是__________‎ 三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题，20分。请写必要的解答过程）‎ ‎17（本小题满分10分）‎ 已知的展开式中前三项的系数成等差数列. ‎ ‎(1)求展开式的二项式系数的和；‎ ‎(2)求展开式中含的项.‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作直线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎19. （本小题满分12分） ‎ 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ （1） 由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 ‎（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人 ‎①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.‎ ‎②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考公式及数据：‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.‎ ‎（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；‎ ‎（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，记函数在上的最大值为，‎ 证明：.‎ ‎22.附加题：（本小题满分20分）‎ ‎.已知函数R.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 参考答案 AABCC DACDC DA ‎13.24 14. 0.8185 15.240 16.1‎ ‎17.【详解】‎ 二项展开式的通项公式为：‎ 展开式前三项的系数依次为，，‎ ‎，整理可得：‎ 解得：（舍）或 二项展开式的通项公式为：‎ ‎（1）二项展开式的二项式系数的和为：‎ ‎（2）令，解得：‎ 展开式中含的项为 ‎18.. 【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数）‎ 消去可得：， ‎ 由得，得. ‎ ‎（2）过点与直线垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入可得，‎ 设M，N对应的参数为，，则，‎ 所以.‎ ‎19（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，‎ 故可得列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 由列联表可得，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．‎ ‎（2）①设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，‎ 则,p=4/9‎ ‎②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ 由题意得的可能取值为0,1,2.‎ ‎，，.‎ 故随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以.‎ ‎20. 【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，‎ 则，.‎ ‎（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则 ‎,‎ ‎ .‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎= ，‎ ‎,‎ ‎ ，‎ ‎,‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴.‎ ‎21.解：（1）因为，所以，当时，；当时，，‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为. ‎ ‎（2）当时，，则，‎ 当时，，令，‎ 则，所以在上单调递增，因为，，‎ 所以存在，使得，即，即.‎ 故当时，，此时；当时，，此时.‎ 即在上单调递增，在上单调递减.‎ 则 .‎ 令，，则.‎ 所以在上单调递增，所以，.‎ 故成立. ‎ ‎22【详解】（1）的定义域为，‎ ‎，‎ ‎（i）当时，恒成立，‎ 时，在上单调递增；‎ 时，在上单调递减.‎ ‎（ii）当时，由得，（舍去），‎ ‎①当，即时，恒成立，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，或，‎ 恒成立，在上单调递增；‎ 时，恒成立，在上单调递减.‎ ‎③当，即时，或时，恒成立，‎ 在单调递增，‎ 时，恒成立，在上单调递减.‎ 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；‎ 当时，单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 又，取，令，‎ 则在成立，故单调递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ 有两个零点等价于，得，‎ ‎，‎ 当时，，只有一个零点，不符合题意；‎ 当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；‎ 当且时，有两个极值，‎ ‎，‎ 记，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递减，‎ 故在单调递增，‎ 时，，故，‎ 又，‎ 由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，‎ 综上，实数的取值范围为.‎