数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三上学期第六次双周考（2017

数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三上学期第六次双周考（2017

荆州中学高三第五次单周考试理科数学测试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1. 已知是虚数单位，则复数的虚部为 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知直线 ，，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知单位向量的夹角为，，则在方向上的投影是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5．在等比数列中，，，且前n项和，则此数列的项数n等于（ ）‎ A．4 B．‎5 ‎‎ ‎ C．6 D．7‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）‎ A．, ‎ B．, ‎ C． , ‎ D．,‎ ‎8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到侧（左）视图可以为（ ）‎ ‎[]‎ ‎9．若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎10．已知 ，,，则它们的大小关系是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则( )‎ A．1 B．‎2 C． 4 D．‎ ‎12．如图，四棱柱中，底面为正方形，侧棱垂直底面，已知，，以为圆心， 为半径，在侧面上画弧，当半径的端点完整的划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．若定义在区间上的函数是奇函数，则 .‎ ‎14． .‎ ‎15．已知为正三角形，平面内的动点、满足，，则的最大值是 . ‎ ‎16．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，，则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）锐角的角所对边分别是，角的平分线交于，直线 是函数图像的一条对称轴，，求边．‎ ‎18．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，已知首项 ，公差为整数，且对任意的都有 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎ （2）设数列的前项和为，求证：‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在四边形中，，，四边形 为矩形，且平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. ‎ ‎20. （本小题满分12分）已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）记，求在上的最大值；‎ ‎（3）当时，试比较与的大小；‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. （本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎23. （本小题满分10分）已知函数.‎ ‎（1）若，使得成立，求的范围；‎ ‎（2）求的解集.‎ 荆州中学高三第五次周考理科数学测试卷参考答案 ‎1.C 2.B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. A 8. B 9.D 10. C 11.A 12.B ‎ ‎13. -1 14. 15. 16. ‎ ‎17、【解析】（Ⅰ）因为 ‎ ，……(3分)‎ 令，解得，‎ 所以递增区间是； ……(6分)‎ ‎（Ⅱ）直线是函数图像的一条对称轴，‎ 则，由得到，……(8分)‎ 所以角,由正弦定理得，‎ 所以，，，‎ 所以，，所以 (12分)‎ ‎19. 解：(I)在梯形中，∵，设，‎ 又∵,∴，∴‎ ‎∴∴. ∵，，‎ ‎∴，而，∴ ∵ ∴. ……(6分)‎ ‎(II)由(I)可建立分别以直线，，为轴， 轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，‎ 设，令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，∴=(-，1，0)，=(，-1，1)， ‎ 设为平面的一个法向量，由得 取,则=(1,,), ∵=(1,0,0)是平面的一个法向量, ……(9分)‎ ‎∴ ‎ ‎∵,∴当时，有最小值，∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，二面角的余弦值为. ……(12分)‎ ‎20. 解：（I）设动点，由于轴于点由题意，，得 即 将代入，得曲线的方程为 ……(4分)‎ ‎（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设 联立，可得 ‎ 由求根公式得（） ∵以为直径的圆过坐标原点， 即 即 化简可得，‎ 将（）代入可得，即 ……(7分)‎ 即，又 将代入，可得 ‎ ‎ ‎∴当且仅当，即时等号成立．又由，‎ ‎，． ……(10分)‎ ‎（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得 ‎ 故．综上，得． ……(12分)‎ ‎21.解：（1）设曲线与相切于点，‎ 由，知，解得，‎ 又可求得点为，所以代入，得. ……(3分)‎ ‎（2）因为，所以.‎ ①当，即时，，此时在上单调递增，‎ 所以；‎ ②当即，当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，.‎ ‎（i）当，即时，；‎ ‎（ii）当，即时，；‎ ③当，即时，，此时在上单调递减，‎ 所以.‎ 综上，当时，；‎ 当时，. ……(8分)‎ ‎（3）当时，，‎ ①当时，显然；②当时，，‎ 记函数，‎ 则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（），‎ 当时，单调递减；当时，单调递增，‎ 所以，结合（）式，知，‎ 所以，‎ 则，即，所以.综上，.……(12分)‎ ‎（说明：若找出两个函数与图象的一条分隔线，如，然后去证与，且取等号的条件不一致，同样给分）‎ ‎22.解：（I）由，得 ‎ 曲线的直角坐标方程为 ……(4分)‎ ‎（II）将直线的参数方程代入，得 设两点对应的参数分别为，则，，……(6分)‎ 当时，的最小值为2. ……(10分)‎ ‎23.解：（I）易知 ∴ ……(5分)‎ ‎（II）即，由（I）可知，当时，的解集为空集；‎ 当时，的解集为； ‎ 当时，的解集为.‎ 综上，不等式的解集为. ……(10分)‎