高科数学专题复习课件：第二章 2_3函数的奇偶性与周期性

高科数学专题复习课件：第二章 2_3函数的奇偶性与周期性

§2.3 　 函数的奇偶性与周期性 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 函数的奇偶性 知识梳理 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都 有 ， 那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都 有 ， 那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数 关于 对称 f ( － x ) ＝ f ( x ) f ( － x ) ＝－ f ( x ) y 轴 原点 (1) 周期函数：对于函数 y ＝ f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都 有 ， 那么就称函数 y ＝ f ( x ) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期 . (2) 最小正周期：如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一 个 的 正数，那么 这个 就 叫做 f ( x ) 的最小正周期 . 2. 周期性 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 最小 最小正数 1. 函数奇偶性常用结论 (1) 如果函数 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |). (2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 . (3) 在公共定义域内有：奇 ± 奇＝奇，偶 ± 偶＝偶，奇 × 奇＝偶，偶 × 偶＝偶，奇 × 偶＝奇 . 知识 拓展 2. 函数周期性常用结论 对 f ( x ) 定义域内任一自变量的值 x ： (1) 若 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ，则 T ＝ 2 a ( a >0). (2) 若 f ( x ＋ a ) ＝ ， 则 T ＝ 2 a ( a >0). (3) 若 f ( x ＋ a ) ＝ ， 则 T ＝ 2 a ( a >0). 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点 .( 　　 ) (2) 若函数 y ＝ f ( x ＋ a ) 是偶函数，则函数 y ＝ f ( x ) 关于直线 x ＝ a 对称 .( 　　 ) (3) 函数 f ( x ) 在定义域上满足 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ，则 f ( x ) 是周期为 2 a ( a >0) 的周期函数 .( 　　 ) (4) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 .( 　　 ) (5) 若 T 是函数的一个周期，则 nT ( n ∈ Z ， n ≠ 0) 也是函数的周期 .( 　　 ) 思考辨析 × √ √ √ √ 1.( 教材改编 ) 下列函数为偶函数的 是 A. f ( x ) ＝ x － 1 B. f ( x ) ＝ x 2 ＋ x C. f ( x ) ＝ 2 x － 2 － x D. f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 － x 考点自测 答案 解析 D 中， f ( － x ) ＝ 2 － x ＋ 2 x ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 为偶函数 . 2. 已知函数 f ( x ) 为奇函数，且当 x >0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ ， 则 f ( － 1) 等于 A. － 2 B.0 C.1 D.2 答案 解析 f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ (1 ＋ 1) ＝－ 2. 3. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ，则 f (8) 的值 为 A. － 1 B.0 C.1 D.2 答案 解析 ∵ f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数 ， ∴ f (0) ＝ 0 ， 又 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ， ∴ f (8 ) ＝ f (0) ＝ 0. 4.( 教材改编 ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x (1 ＋ x ) ， 则 当 x <0 时， f ( x ) ＝ ________. 答案 解析 x (1 － x ) 当 x <0 时，则－ x >0 ， ∴ f ( － x ) ＝ ( － x )(1 － x ). 又 f ( x ) 为奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ＝ ( － x )(1 － x ) ， ∴ f ( x ) ＝ x (1 － x ). 5.(2016· 四川 ) 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0< x <1 时， f ( x ) ＝ 4 x ， 则 ＋ f (2) ＝ _____. 答案 解析 － 2 ∵ f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数， ∴ f (0) ＝ 0 ， 又 0< x <1 时， f ( x ) ＝ 4 x ， ∴ f ( ) ＝ ＝ 2 ， 题型分类　深度剖析 题型一　判断函数的奇偶性 例 1 　 (1) 下列函数为奇函数的 是 A. f ( x ) ＝ 2 x － B. f ( x ) ＝ x 3 sin x C. f ( x ) ＝ 2cos x ＋ 1 D. f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x 答案 解析 选项 A 中，函数 f ( x ) 的定义域为 R ， ∴ f ( x ) 为奇函数 . (2) 判断函数 f ( x ) ＝ 的 奇偶性 . 解 答 当 x >0 时，－ x <0 ， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ x ， ∴ f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － x ＝ x 2 － x ＝－ ( － x 2 ＋ x ) ＝－ f ( x ) ； 当 x <0 时，－ x >0 ， f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ， ∴ f ( － x ) ＝－ ( － x ) 2 － x ＝－ x 2 － x ＝－ ( x 2 ＋ x ) ＝－ f ( x ). ∴ 对于 x ∈ ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，均有 f ( － x ) ＝－ f ( x ). ∴ 函数 f ( x ) 为奇函数 . 思维 升华 (1) 利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2) 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简，判断 f ( x ) 与 f ( － x ) 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 . 跟踪训练 1 　 (1)(2016 · 北京 海淀 区 模拟 ) 下列函数中为偶函数的 是 A. y ＝ B. y ＝ lg| x | C. y ＝ ( x － 1) 2 D. y ＝ 2 x 答案 解析 选项 B 中，函数 y ＝ lg| x | 的定义域为 { x | x ≠ 0} 且 lg| － x | ＝ lg| x | ， ∴ 函数 y ＝ lg| x | 是偶函数 . (2) 函数 f ( x ) ＝ log a (2 ＋ x ) ， g ( x ) ＝ log a (2 － x )( a >0 且 a ≠ 1) ，则函数 F ( x ) ＝ f ( x ) ＋ g ( x ) ， G ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的奇偶性 是 A. F ( x ) 是奇函数， G ( x ) 是 奇函数 B. F ( x ) 是偶函数， G ( x ) 是奇函数 C. F ( x ) 是偶函数， G ( x ) 是 偶函数 D. F ( x ) 是奇函数， G ( x ) 是偶函数 答案 解析 F ( x ) ， G ( x ) 的定义域均为 ( － 2,2) ， 由已知 F ( － x ) ＝ f ( － x ) ＋ g ( － x ) ＝ log a (2 － x ) ＋ log a (2 ＋ x ) ＝ F ( x ) ， G ( － x ) ＝ f ( － x ) － g ( － x ) ＝ log a (2 － x ) － log a (2 ＋ x ) ＝－ G ( x ) ， ∴ F ( x ) 是偶函数， G ( x ) 是奇函数 . 题型二　函数的周期性 例 2 　 (1)(2016· 宝鸡模拟 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 g ( x ) ＝ f ( x － 1) ，则 f (2 017) ＋ f (2 019) 的值 为 A . － 1 B.1 C.0 D. 无法 计算 答案 解析 由题意，得 g ( － x ) ＝ f ( － x － 1) ， 又 ∵ f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ g ( － x ) ＝－ g ( x ) ， f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x － 1) ＝－ f ( x ＋ 1) ， ∴ f ( x ) ＝－ f ( x ＋ 2) ， ∴ f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ， ∴ f ( x ) 的周期为 4 ， ∴ f (2 017) ＝ f (1) ， f (2 019) ＝ f (3) ＝ f ( － 1) ， 又 ∵ f (1) ＝ f ( － 1) ＝ g (0) ＝ 0 ， ∴ f (2 017) ＋ f (2 019) ＝ 0. (2) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，并且 f ( x ＋ 2) ＝ ， 当 2 ≤ x ≤ 3 时， f ( x ) ＝ x ，则 f (105.5) ＝ ______. 答案 解析 2.5 由已知，可得 f ( x ＋ 4) ＝ f [ ( x ＋ 2) ＋ 2 ] 故函数的周期为 4. ∴ f (105.5) ＝ f (4 × 27 － 2.5) ＝ f ( － 2.5) ＝ f (2.5). ∵ 2 ≤ 2.5 ≤ 3 ，由题意，得 f (2.5) ＝ 2.5. ∴ f (105.5) ＝ 2.5. 引申 探究 本 例 ( 2) 中，若将 f ( x ＋ 2) ＝ 改为 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，其他条件不变，求 f (105.5) 的值 . 解答 f ( x ＋ 4) ＝ f [ ( x ＋ 2) ＋ 2 ] ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ 函数的周期为 4( 下同例题 ). 思维 升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 . 对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值 . 跟踪训练 2 　定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ，当－ 3 ≤ x < － 1 时， f ( x ) ＝－ ( x ＋ 2) 2 ；当－ 1 ≤ x <3 时， f ( x ) ＝ x . 则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (2 018) ＝ ________. 答案 解析 339 ∵ f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ， ∴ T ＝ 6. ∵ 当－ 3 ≤ x < － 1 时， f ( x ) ＝－ ( x ＋ 2) 2 ； 当－ 1 ≤ x <3 时， f ( x ) ＝ x ， ∴ f (1) ＝ 1 ， f (2) ＝ 2 ， f (3) ＝ f ( － 3) ＝－ 1 ， f (4 ) ＝ f ( － 2) ＝ 0 ， f (5 ) ＝ f ( － 1) ＝－ 1 ， f (6 ) ＝ f (0) ＝ 0 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (6) ＝ 1 ， 又 f (2 017) ＝ f (1) ＝ 1 ， f (2 018) ＝ f (2) ＝ 2 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (2 018) ＝ 339. 题型三　函数性质的综合应用 命题点 1 　解不等式问题 例 3 　 (1)( 2017· 沈阳 质检 ) 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，则满足 f (2 x － 1)< f ( ) 的 x 的取值范围 是 答案 解析 因为 f ( x ) 是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称， 又 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， f (2 x － 1)< f ( ) ， 几何画板展示 (2) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f (1)<1 ， f (5) ＝ ， 则实数 a 的取值范围 为 A.( － 1,4) B.( － 2,0) C .( － 1,0) D.( － 1,2) 答案 解析 ∵ f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， ∴ f (5) ＝ f (5 － 6) ＝ f ( － 1) ＝ f (1) ， 解得－ 1< a <4 ，故选 A. 命题点 2 　求参数问题 例 4 　 (1)(2016· 北京西城区模拟 ) 函数 f ( x ) ＝ lg ( a ＋ ) 为奇函数，则实数 a ＝ _____. 答案 解析 － 1 根据题意得，使得函数有意义的条件为 a ＋ > 0 且 1 ＋ x ≠ 0 ， 由奇函数的性质可得 f (0) ＝ 0. 所以 lg( a ＋ 2) ＝ 0 ，即 a ＝－ 1 ， 经 检验 a ＝－ 1 满足函数的定义域 . 答案 解析 － 10 因为 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 即 3 a ＋ 2 b ＝－ 2 . ① 即 b ＝－ 2 a . ② 由 ①② 得 a ＝ 2 ， b ＝－ 4 ，从而 a ＋ 3 b ＝－ 10. 思维 升华 (1) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 . (2) 掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ① f ( x ) 为偶函数 ⇔ f ( x ) ＝ f (| x |). ② 若奇函数在 x ＝ 0 处有意义，则 f (0) ＝ 0. 跟踪训练 3 　 (1) 若 f ( x ) ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax 是偶函数，则 a ＝ ________. 答案 解析 函数 f ( x ) ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax 是偶函数，故 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 即 ln(e － 3 x ＋ 1) － ax ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax ， 整理得 e 3 x ＋ 1 ＝ e 2 ax ＋ 3 x (e 3 x ＋ 1) ， (2) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，且在区间 [ 0,2 ] 上是增函数， 则 A. f ( － 25)< f (11)< f (80) B. f (80 )< f (11)< f ( － 25) C. f (11)< f (80)< f ( － 25) D. f ( － 25)< f (80)< f (11) 答案 解析 因为 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x － 8) ＝ f ( x ) ， 所以函数 f ( x ) 是以 8 为周期的周期函数， 则 f ( － 25) ＝ f ( － 1) ， f (80) ＝ f (0) ， f (11) ＝ f (3). 由 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ， 得 f (11) ＝ f (3) ＝－ f ( － 1) ＝ f (1). 因为 f ( x ) 在区间 [0,2] 上是增函数， f ( x ) 在 R 上是奇函数， 所以 f ( x ) 在区间 [ － 2,2] 上是增函数， 所以 f ( － 1)< f (0)< f (1). 所以 f ( － 25)< f (80)< f (11). 抽象 函数问题 高频小考点 2 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等 . 一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现 . 此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视 . 考点分析 一、抽象函数的定义域 典例 1 　 已知函数 y ＝ f ( x ) 的定义域是 [ 0,8 ] ，则函数 g ( x ) ＝ 的 定义域为 ________. 答案 解析 要使函数有意义， 解得 1 ≤ x <3 ，所以函数 g ( x ) 的定义域为 [1,3). [1,3) 二、抽象函数的函数值 典例 2 　 若定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x )>0 ， f ( x ＋ 2) ＝ ， 对任意 x ∈ R 恒成立，则 f (2 019) 等于 A.4 B.3 C.2 D.1 答案 解析 即函数 f ( x ) 的周期是 4 ， 所以 f (2 019) ＝ f (505 × 4 － 1) ＝ f ( － 1). 因为函数 f ( x ) 为偶函数， 所以 f (2 019) ＝ f ( － 1) ＝ f (1). 即 f (1) ＝ 1 ，所以 f (2 019) ＝ f (1) ＝ 1. 三、抽象函数的单调性与不等式 典例 3 　 设函数 f ( x ) 是定义在 (0 ，＋ ∞ ) 上的增函数，且满足 f ( xy ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ). 若 f (3) ＝ 1 ，且 f ( a )> f ( a － 1) ＋ 2 ，求实数 a 的取值范围 . 规范解 答 解 因为 f ( xy ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) 且 f (3) ＝ 1 ，所以 2 ＝ 2 f (3) ＝ f (3) ＋ f (3) ＝ f (9). 又 f ( a )> f ( a － 1) ＋ 2 ，所以 f ( a )> f ( a － 1) ＋ f (9). 再由 f ( xy ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) ，可知 f ( a )> f [ 9( a － 1)] ， 因为 f ( x ) 是定义在 (0 ，＋ ∞ ) 上的增函数， 课时作业 1.( 2017· 石家庄质检 ) 下列函数中，既是偶函数又在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 对于 C ， y ＝ lg x 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 兰州模拟 ) 已知 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx 是定义在 [ a － 1,2 a ] 上的偶函数，那么 a ＋ b 的值 是 √ 答案 解析 依题意得 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ b ＝ 0 ，又 a － 1 ＝－ 2 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数，且满足 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ，当 x ∈ ( － 2,0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 2 ，则 f (2 019) 等于 A . － 2 B.2 C . － 98 D.98 √ 答案 解析 由 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) 知， f ( x ) 是周期为 4 的周期函数， f (2 019) ＝ f (504 × 4 ＋ 3) ＝ f (3) ， 又 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ， ∴ f (3) ＝ f ( － 1) ， 由－ 1 ∈ ( － 2,0) 得 f ( － 1) ＝ 2 ， ∴ f (2 019) ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知 f ( x ) ＝ lg ( ＋ a ) 为奇函数，则使 f ( x )<0 的 x 的取值范围 是 A .( － ∞ ， 0) B .( － 1,0) C.(0,1) D .( － ∞ ， 0) ∪ (1 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时， f ( x ) ＝ 则 f ( f ( － 16)) 等于 √ 答案 解析 由题意 f ( － 16) ＝－ f (16) ＝－ log 2 16 ＝－ 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *6.(2016· 天津 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ( － ∞ ， 0) 上单调递增 . 若实数 a 满足 f (2 | a － 1| )> f ( ) ，则 a 的取值范围 是 √ 答案 解析 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数且在区间 ( － ∞ ， 0) 上单调递增， 所以 f ( － x ) ＝ f ( x ) 且 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2016· 济南模拟 ) 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝ 2 x (1 ＋ x ) ，则 f ( ) ＝ ________. 答案 解析 因为 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 函数 f ( x ) 在 R 上为奇函数，且当 x >0 时， f ( x ) ＝ ＋ 1 ，则当 x <0 时， f ( x ) ＝ _____ ___ ___. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x ∈ R 恒有 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ，已知当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ 2 x ，则 有 ： ① 2 是函数 f ( x ) 的周期； ② 函数 f ( x ) 在 (1,2) 上是减函数，在 (2,3) 上是增函数； ③ 函数 f ( x ) 的最大值是 1 ，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是 ________. 答案 解析 ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) 中，令 x － 1 ＝ t ，则 有 f ( t ＋ 2) ＝ f ( t ) ， 因此 2 是函数 f ( x ) 的周期，故 ① 正确； 当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ 2 x 是增函数， 根据函数的奇偶性知， f ( x ) 在 [ － 1,0] 上是减函数 ， 根据 函数的周期性知，函数 f ( x ) 在 (1,2) 上是减函数，在 (2,3) 上是增函数，故 ② 正确； 由 ② 知， f ( x ) 在 [0,2] 上的最大值 f ( x ) max ＝ f (1) ＝ 2 ， f ( x ) 的最小值 f ( x ) min ＝ f (0) ＝ f (2) ＝ 2 0 ＝ 1 且 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数 ， ∴ f ( x ) 的最大值是 2 ，最小值是 1 ，故 ③ 错误 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) ＝ 是 奇函数 . ( 1) 求实数 m 的值； 解 答 设 x <0 ，则－ x >0 ， 所以 f ( － x ) ＝－ ( － x ) 2 ＋ 2( － x ) ＝－ x 2 － 2 x . 又 f ( x ) 为奇函数，所以 f ( － x ) ＝－ f ( x ). 于是 x <0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ mx ＝ x 2 ＋ 2 x ， 所以 m ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若函数 f ( x ) 在区间 [ － 1 ， a － 2 ] 上单调递增，求实数 a 的取值范围 . 解答 要使 f ( x ) 在 [ － 1 ， a － 2 ] 上单调递增， 故实数 a 的取值范围是 (1,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，当 x ∈ [ 0,2 ] 时， f ( x ) ＝ 2 x － x 2 . (1) 求证： f ( x ) 是周期函数； 证明 ∵ f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ， ∴ f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是周期为 4 的周期函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当 x ∈ [ 2,4 ] 时，求 f ( x ) 的解析式； 解 答 ∵ x ∈ [2,4] ， ∴ － x ∈ [ － 4 ，－ 2] ， ∴ 4 － x ∈ [0,2] ， ∴ f (4 － x ) ＝ 2(4 － x ) － (4 － x ) 2 ＝－ x 2 ＋ 6 x － 8 ， 又 f (4 － x ) ＝ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ － f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 6 x － 8 ， 即 f ( x ) ＝ x 2 － 6 x ＋ 8 ， x ∈ [2,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 计算 f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 018). 解答 ∵ f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 1 ， f (2) ＝ 0 ， f (3) ＝－ 1. 又 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数， ∴ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3 ) ＝ f (4) ＋ f (5) ＋ f (6) ＋ f (7) ＝ … ＝ f (2 012) ＋ f (2 013) ＋ f (2 014) ＋ f (2 015) ＝ 0. ∴ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 018) ＝ f (2 016) ＋ f (2 017) ＋ f (2 018) ＝ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ＝ { x | x ≠ 0} ，且满足对于任意 x 1 ， x 2 ∈ D ，有 f ( x 1 · x 2 ) ＝ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ). (1) 求 f (1) 的值； 解答 ∵ 对于任意 x 1 ， x 2 ∈ D ， 有 f ( x 1 · x 2 ) ＝ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ) ， ∴ 令 x 1 ＝ x 2 ＝ 1 ，得 f (1) ＝ 2 f (1) ， ∴ f (1) ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 判断 f ( x ) 的奇偶性并证明你的结论； 解答 f ( x ) 为偶函数 . 证明：令 x 1 ＝ x 2 ＝－ 1 ，有 f (1) ＝ f ( － 1) ＋ f ( － 1) ， 令 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ x 有 f ( － x ) ＝ f ( － 1) ＋ f ( x ) ， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 为偶函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 如果 f (4) ＝ 1 ， f ( x － 1)<2 ，且 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，求 x 的取值范围 . 解答 依题设有 f (4 × 4) ＝ f (4) ＋ f (4) ＝ 2 ， 由 (2) 知， f ( x ) 是偶函数， ∴ f ( x － 1)<2 ⇔ f (| x － 1|)< f (16). 又 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， ∴ 0<| x － 1|<16 ，解之得－ 15< x <17 且 x ≠ 1 ， ∴ x 的取值范围是 { x | － 15< x <17 且 x ≠ 1}.