2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试 数 学（理科）‎ ‎2018．04‎ 出卷人： 校对人：‎ ‎（全卷满分160分，考试时间120分钟）‎ 注意事项：‎ 1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．‎ ‎2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1、___▲ _ ‎ ‎2、已知复数（是虚数单位），则||= ▲ _ ‎ ‎3、已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．‎ 由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ▲ _‎ ‎4、观察式子，，，……，则可以归纳出 ‎ ▲ ‎ ‎5、若向量，满足条件，则 ▲ ‎ ‎6、对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 _ ▲ _‎ ‎7、用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得的结果是 ▲ ‎ ‎8、复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对 应的复数为，则点对应的复数是 ▲ ‎ ‎9、设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥，则的值为 ▲ ‎ ‎10、从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有___▲___种．‎ ‎（用数字作答）‎ ‎11、用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为 ▲ ‎ ‎12、某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排 在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有___ ▲____‎ ‎13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式 ‎ 中，“……”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 ▲ ‎ ‎14、如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段 上，分别为的中点．设异面直线和所成的角为，则的最大 值为 ▲ ‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知复数 ‎（1）当实数为何值时，复数为纯虚数 （2）当时，计算.‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）已知且，求证：中至少有一个小于．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ A E F B C D H 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，‎ 为的中点.（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在长方体中，点是棱的中点，点 在棱上，且（为实数）．（1）求二面角的余弦值； ‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎（3）求证：直线与直线不可能垂直．‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 观察如图： ‎ ‎1，‎ ‎2,3‎ ‎4,5,6,7‎ ‎8,9,10,11,12,13,14,15‎ ‎……‎ 问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？‎ ‎（3）2018是第几行的第几个数？ ‎ ‎（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在， 求 ‎ 出的值；若不存在，请说明理由． ‎ 扬州市邗江区2017-2018学年度第二学期期中试卷 高 二 数 学 （理） 答 案 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1. 20； 2. ； 3. 正方形的对角线相等； ‎ ‎ 4. ； 5. ； 6.假设至少有两个钝角 ； 7、； ‎ ‎ 8. ， 9. 10. ； 11. ； ‎ ‎12. 624； 13. ； 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15、解：（1）复数 ‎ .................. 4分 ‎ .................. 6分 即 .................. 7分 ‎（2） ..................14分 ‎16．解：（1）证明：因为和都是正数，所以为了证明，‎ 只要证 ，只需证：， .......... 3分 即证: ，即证: ，即证: 21， ........... 6分 ‎ 因为21<25显然成立，所以原不等式成立．................. 7分 ‎（2）证明：假设都不小于2，则 ．................. 10分 ， 即 ...... ‎ ‎13分 这与已知矛盾，故假设不成立，从而原结论成立. ...... 14分 ‎17. (1) 如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立 空间直角坐标系，‎ 令则 .....2分 （1） 设与的交点为，连接则，‎ ‎∴ .............................4分 又∵，∴∥，.......... 6分 平面平面，∴∥平面........7分 ‎（2）∵‎ ‎∴∴.......... 10分 又，且 ，∴平面.......... 14分 ‎18. 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．‎ 则，....................2分 ‎ 设平面的法向量为，‎ 则．即．令，则．‎ ‎ ∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为．．....4分 故，即二面角的余弦值为................5分 ‎（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．‎ 所以．.................................8分 因为 ，所以为锐角， ‎ 从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．....................10分 ‎ ‎(3)假设，则．．....................12分 ‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，．．....................14分 ‎ ‎ ‎ ‎∴．化简得．‎ 该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．．.............16分 ‎ ‎19解：（1），.．...........................4分 ‎ ‎（2）因为，所以，，‎ ‎，由此猜想：当时，都有，即.‎ 下面用数学归纳法证明（）. ...........................6分 ① 时，该不等式显然成立. ..................................... ..8分 ‎②假设当时，不等式成立，即，. ...............10‎ 分 则当时，，‎ 要证当时不等式成立.只要证：，‎ 只要证：.. ............................................. ...13分 令，因为，所以在上单调递减，‎ 从而，而，所以成立.‎ 则当时，不等式也成立. ....................................... ...15分 综合①、②得原不等式对任意的均成立............................ ...16分 ‎20. 解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律： ‎ ‎ 由此得出第行的第一个数为：，共有个， ‎ 所以此表第n行的最后一个数是. .................................... 3分 ‎（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式得： ‎ ‎ 第n行的各个数之和........ 6分 ‎（3）由（1）可知第n行的最后一个数是.‎ 当时，最后一个数字为， 当时，最后一个数字为， ‎ 所以在第行，， 故2018是第12行的第995个数； ‎ ‎（4）第行起的连续行的所有数之和 ‎ ‎ ‎ 又…………（*）， 故 时（*）式成立.‎ 时，由（*）可得，‎ ‎ 此等式左边为偶数，右边为奇数，不成立.‎ ‎ 故满足条件的. ........... ........................... .... 16分