甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试数学（理）试题

天水一中2019-2020学年度高二级第二学期第一学段考试 数学试题（理科）‎ 一、单选题（每小题3分，共36分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解法可得，从而由集合的交集运算可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，，则.‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算和简单不等式的解法，认真计算是关键，属基础题.‎ ‎2.复数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎3. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）‎ ‎① 2013不能被2整除； ② 一切奇数都不能被2整除； ③ 2013是奇数；‎ A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”．大前提是一切奇数都不能被2整除；小前提是2013是奇数，得到结论为2013不能被2整除，故选C.‎ 考点：演绎推理的基本方法 点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．‎ ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的定义域应满足 ‎ 故选C.‎ ‎5.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．‎ ‎【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；‎ 当，则，有，满足必要性；‎ 所以“”是“”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．‎ ‎6.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在定义域上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．‎ ‎【详解】解：因为函数为偶函数，所以选项不合题意；‎ 函数在定义域上为减函数，所以选项B不合题意；‎ 函数在定义域内不单调，所以选项C不合题意；‎ 函数为奇函数，且，因为在上单调递增，在上单调递增，且与在处函数值都为，所以在定义域内是增函数.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．属于基础题．‎ ‎7.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是 A. 小明 B. 小马 C. 小红 D. 小方 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如果小方得第一名，那么小明说的也是真话，不符合要求；如果小红得第一名，那么小马说的也是真话，不符合要求；如果小明得第一名，那么小明说的也是真话，小马、小方、小红说的是假话，符合要求；所以得第一名的人是小明.故选A.‎ ‎8.已知，，，则实数，，的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以结合指数函数与对数函数性质得出、以及，然后通过对比即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，，所以，‎ 综上所述，，故选D。‎ ‎【点睛】本题考查指数函数与对数函数的相关性质，主要考查利用指数函数与对数函数性质来判断数值的大小，考查推理能力，体现了对指数函数与对数函数的灵活应用，是中档题。‎ ‎9. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A. 5或 B. 或 C. 或 D. 5或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由条件知一条渐近线斜率为所以其中为实半轴，为虚半轴；则离心率满足故选B ‎10.已知点在直线的图象上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将定点的坐标代入，得出到，再利用基本不等式即可求得答案．‎ ‎【详解】依题意得，，且，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，因此，的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式，考查基本不等式中的妙用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎11.在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长的最小值为　　‎ A B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作于点，作于点，则设，则，，由此能求出MN的最小值．‎ ‎【详解】作于点，作于点，‎ 线段MN平行于对角面，．‎ 设，则，，‎ 在直角梯形中，‎ ‎，‎ 当时，MN的最小值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．‎ ‎12.若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】方程可化为，令，有，‎ 令可知函数的增区间为，减区间为、，‎ 则，，‎ 当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13.已知为虚数单位，则复数的虚部为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再利用复数的概念求解.‎ ‎【详解】因复数，‎ 所以复数的虚部为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎14.设M＝‎2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M、N的大小关系为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．‎ ‎【详解】∵M-N═‎2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N． 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b＜0时，a＜b．‎ ‎15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察给出的三个图形，总结规律，可得组成第n个图形的火柴的根数为个，即可得解.‎ ‎【详解】由题意第1个图形由8根火柴组成，‎ 第2个图形由根火柴组成，‎ 第3个图形由根火柴组成，‎ 根据规律，组成第n个图形的火柴的根数为个，‎ 当时，图形需要火柴棒的根数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.‎ ‎16.已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，‎ 所以，即，‎ 解得，所以实数的取值范围是．‎ 三、解答题（本大题共52分，其中17、18题各8分；19、20、21题各12分）‎ ‎17.已知二次函数的最小值为1，且．‎ ‎（1）求函数的解析式； ‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由（1）得，结合二次函数的性质，即可求得函数的最值.‎ ‎（3）由（1）得到函数的对称轴的方程为，根据函数在区间上不单调，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，设，‎ 因为，即，解得，‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 因为，‎ 所以当时，函数取得最大值，最大值为.‎ ‎（3）由（1）可得函数的对称轴的方程为，‎ 要使函数在区间上不单调，则，解得，‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）∵底面为正方形，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ 同理，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则 ‎，，，‎ 设为平面的一个法向量，又，，‎ ‎，令，，得 同理是平面一个法向量，‎ 则.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎19.已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴，离心率，短轴长为4，（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，求AB的中点坐标及其弦长|AB|．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）AB的中点为，‎ ‎【解析】‎ 解：（1），………2分 设 ‎………5分 ‎………6分 ‎(2)椭圆的右焦点为（1，0），设A() B()‎ 解得………9分 设AB中点坐标为，则 所以AB的中点为………11分 法一：……13分 法二：‎ ‎20.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为或或求解.‎ ‎（2）由（1）函数的最小值为2，得到，再由柯西不等式求的最小值.‎ ‎【详解】（1）原不等式等价于：‎ 或或，‎ 解得或，‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由（1）函数的最小值为2，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，当且仅当时，取等号.‎ 所以的最小值是 .‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）,对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;‎ ‎（2）对求导,分、和三种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为,所以,所以,‎ 则,故曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）因为,所以,‎ ‎①当时,在上恒成立,则在上单调递增,‎ 从而成立,故符合题意;‎ ‎②当时,令,解得,即在上单调递减,‎ 则,故不符合题意;‎ ‎③当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.‎ 综上,的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.‎