数学卷·2018届天津市和平区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届天津市和平区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在 ‎3．已知函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎4．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣1‎ ‎5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y= C．x= D．x=‎ ‎6．双曲线=1的焦距为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎7．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．下列函数中，导函数是奇函数的是（　　）‎ A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax ‎9．已知函数，则f'（π）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（　　）‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎　‎ 二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是　　．‎ ‎12．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是　　．‎ ‎13．（5分）曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是　　．‎ ‎14．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎（1）焦点在y轴上，c=6，；‎ ‎（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．‎ ‎16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分． ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB的方程．‎ ‎17．（10分）已知函数．‎ ‎（1）求f'（x）；‎ ‎（2）设f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，求函数f（x）的解析式．‎ ‎18．（10分）已知曲线．‎ ‎（1）求满足斜率为的曲线的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点P（1，0）的切线方程．‎ ‎19．（10分）已知椭圆的离心率为，且曲线过点 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，‎ 即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，‎ 当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，‎ 即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，‎ 故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎　‎ ‎2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|‎ ‎=4，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，‎ 因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】直接由f（2）﹣f（1.5）得到函数的增量 ‎【解答】解：函数，当x由2变为1.5时，函数的增量为f（1.5）﹣f（2）=﹣=﹣1=，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了函数的增量，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣1‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．‎ ‎【解答】解：y'=2ax，‎ 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行 ‎∴有2a=2‎ ‎∴a=1‎ 故选：A ‎【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y= C．x= D．x=‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴ =‎ ‎∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．双曲线=1的焦距为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．‎ ‎【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，‎ ‎∴c=2，2c=4．‎ 双曲线=1的焦距为：4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎7．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，‎ 可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，‎ 解得a2=36，b2=16，‎ 所求椭圆方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．下列函数中，导函数是奇函数的是（　　）‎ A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】运用常见函数导数的公式和奇偶性的定义，即可判断A正确．‎ ‎【解答】解：A，y=cosx的导数为y′=﹣sinx，显然为奇函数；‎ B，y=ex的导数为y′=ex为非奇非偶函数；‎ C，y=lnx的导数为y′=（x＞0）为非奇非偶函数；‎ D，y=ax的导数为y′=axlna为非奇非偶函数．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和函数的导数公式的运用，考查判断能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数，则f'（π）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先对函数f（x）求导，进而可求出f′（π）的值．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=•sinx+cosx，‎ ‎∴f′（π）=sinπ+cosπ=﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆的离心率，则实数k的值为（　　）‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．‎ ‎【解答】解：当K＞5时，e===，K=．‎ 当0＜K＜5时，e===，K=3． 综上，K=3，或．‎ ‎ 故选 B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是　x2=±24y　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．‎ ‎【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，‎ 所求抛物线方程为：x2=±24y．‎ 故答案为：x2=±24y．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：与双曲线有共同的渐近线，可设双曲线方程为：，‎ 双曲线过点，可得，即m=﹣，‎ 所求双曲线方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎13．曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是　　．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程．‎ ‎【分析】本题可以先求出交点坐标，再求解交点处的两个方程，然后分别解出它们与x轴的交点坐标，计算即可．‎ ‎【解答】解：联立方程 解得曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），‎ 则易得两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x﹣1，‎ y=0时，x=2，x=，‎ 于是三角形三顶点坐标分别为 （1，1）；（2，0）；（，0），‎ s=×，‎ 即它们与x轴所围成的三角形的面积是．‎ ‎【点评】本题考查了直线的点斜式方程的求法，应注意掌握好这一基本方法．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，‎ 可得： =0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，‎ 可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），‎ 解得e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎（1）焦点在y轴上，c=6，；‎ ‎（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的离心率，求出a，b即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）利用已知条件列出方程，求出a，b，即可求出椭圆方程．‎ ‎【解答】（本题满分10分）‎ 解：（1）焦点在y轴上，c=6，；‎ 可得=，所以a=9，则b==．‎ 所求椭圆方程为：．…（5分）‎ ‎（2）解：由题意知，a=5，c=3，‎ 所以b2=a2﹣c2=25﹣9=16，…（6分）‎ 若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为，…（8分）‎ 若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分． ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）‎ ‎∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2‎ ‎∴抛物线E的方程：y2=4x ‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，‎ 两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）‎ ‎∵线段AB恰被M（2，1）所平分 ‎∴y1+y2=2‎ ‎∴=2‎ ‎∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）（2016秋•和平区期末）已知函数．‎ ‎（1）求f'（x）；‎ ‎（2）设f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，求函数f（x）的解析式．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）利用导数法则求f'（x）；‎ ‎（2）由f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，得，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）…（2分）‎ ‎==．…‎ ‎（2）依题意有…（6分）‎ 所以，解得a=4，b=1，…（9分）‎ 所以．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知曲线．‎ ‎（1）求满足斜率为的曲线的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点P（1，0）的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用斜率为，求出切点坐标，即可求满足斜率为的曲线的切线方程；‎ ‎（2）设过该点的切线切点为，求导数，即可求曲线过点P（1，0）的切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）设切点为，‎ 则切线斜率为，…（1分）‎ 所以，解得，…（2分）‎ 所以，切点坐标为或，…‎ 于是，切线方程为或，‎ 整理得，或．…（5分）‎ ‎（2）显然点P（1，0）不在曲线上，…（6分）‎ 则可设过该点的切线切点为，‎ 而斜率，…（7分）‎ 于是，切线方程为，①…（8分）‎ 将P（1，0）坐标代入方程①得，解得，…（9分）‎ 把代入方程①，并整理得切线方程为4x+y﹣4=0．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查导数几何意义的运用，考查学生的计算能力，正确求导是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2010•怀柔区二模）已知椭圆的离心率为，且曲线过点 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求m的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据离心率为，a2=b2+c2得到关于a和b的一个方程，曲线过点，把点代入方程即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴，∴a2=2b2①‎ 曲线过，则②‎ 由①②解得，则椭圆方程为．‎ ‎（2）联立方程，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0‎ 则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得③‎ ‎，，‎ 即AB的中点为 又∵AB的中点不在内，‎ ‎∴‎ 解得，m≤﹣1或m≥1④‎ 由③④得：＜m≤﹣1或1≤m＜．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．‎ ‎　‎