浙江省“温州十五校联合体”2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷

浙江省“温州十五校联合体”2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷

浙江省“温州十五校联合体”2018-2019学年 高二下学期期中考试 考生须知：‎ ‎1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。‎ ‎3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；‎ ‎4．考试结束后，只需上交答题纸。‎ 一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分)‎ ‎1．已知集合，，则＝ (　 )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为 (　 )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (　 )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 若,则下列结论正确的是 (　 ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知,为的导函数，则的图像是 (　 )‎ ‎6. 在的展开式中，含项的系数是 (　 )‎ ‎ A. 165 B. ‎164 ‎C. 120 D. 119‎ ‎7. 已知是函数，‎ 的图象上的两个动点，则当 ‎ ‎ 达到最小时，的值为 (　 )‎ ‎ A． B. ‎2 ‎C. D.‎ ‎8. 现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有(　 )‎ ‎ A. 60种 B.36种 C.48种 D. 54种 ‎9. 下列命题正确的是 (　 ) ‎ A. 若，则 B. 若，则 ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎10. 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根， 则的取值范围是 (　 )‎ ‎ A. B.∪ ‎ C. D. ∪‎ 二、填空题 (本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)‎ ‎11.已知函数，且，则= ，实数 .‎ ‎12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；‎ ‎；；，请根据上 面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结 果： .‎ ‎13.若，‎ 则= ， = . ‎ ‎14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为，则的数学期望= ，‎ 方差= .‎ ‎15.已知定义域为的函数的导函数的图象如图所示，且 ‎ ‎，则函数的增区间为 ，‎ 若，则不等式的解集为 . ‎ ‎16. 已知函数在内不单调，则实数的取值范围 是 .‎ ‎17. 已知函数，若且，则的取值范 围是 . ‎ 三、 解答题 ( 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.‎ ‎19．（本小题满分15分）‎ 已知函数，，设 ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集. ‎ ‎20．（本小题满分15分）‎ 已知正项数列满足，前项和满足，‎ ‎（Ⅰ）求，，的值 ‎（Ⅱ）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明. ‎ ‎21．（本小题满分15分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 ‎22．（本小题满分15分）‎ 已知函数，为大于0的常数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证：. ‎ 参考答案 ‎ 一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分)‎ ‎1、D 2、A 3、B 4、C 5、A ‎ ‎6、B 7、C 8、D 9、C 10、B ‎ 二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分)‎ ‎11. ； 2 12. 13. 128； 21 ‎ ‎14. ； 15. ； 16.或 17. ‎ 三、 解答题 ( 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.‎ 解：（Ⅰ）因为函数为偶函数，故，得.………2分 ‎， 故值域为 ………5分 ‎（Ⅱ）若在区间上是减函数，则 ， ………7分 ‎ 时函数递减，时函数递增 ‎ 故当时， ………10分 ‎ ………12分 ‎ ‎ 由于故在上的最大值为. ………14分 ‎19. 已知函数，，设 ‎（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求不等式的解集. ‎ 解：（Ⅰ）当时， 解得 ‎ 当时， 解得 或.‎ ‎ ………5分 ‎（Ⅱ）（1）当时，由，得 ‎ 解得或 ，于是 ………8分 ‎（2）当 或时由，得 ‎①若时，不等式化为， 无解. ‎ ‎②若时，不等式化为，解得 ………14分 由（1），（2）得. ‎ 故不等式的解集为. ………15分 ‎ ‎20. 已知正项数列满足，前项和满足，‎ ‎（Ⅰ）求，，的值 （Ⅱ）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明. ‎ 解（Ⅰ）当时， 解得 当时，， ‎ 当时，， ………5分 ‎（Ⅱ）猜想得 ………7分 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，满足。 ………8分 ‎②假设时，结论成立，即，则时 ， 将代入化简得 ………14分 故时 结论成立 . ‎ 综合①②可知，． ………15分 ‎21. 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 解：（Ⅰ）由得 ‎ 于是在处的切线的斜率为 ………2分 由于切线与直线垂直，所以. 故实数的值为. ………4分 当时，切点为，切线为;‎ 当时，切点为，切线为. ………6分 ‎（Ⅱ）设切点坐标，切线斜率为，则有 ‎ ‎ 切线方程为： ………8分 因为切线过，所以将代入直线方程可得：‎ ‎ ………10分 所以问题等价于方程，令 即直线与有三个不同交点.‎ 由，令解得 ‎ 所以在单调递减，在单调递增 ………13分 ‎ 所以若有三个交点，则 ‎ 所以当时，过点存在3条直线与曲线相切 ………15分 ‎22. 已知函数， 为大于0的常数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ） 若函数有两个极值点，且，求证：. ‎ 解：（Ⅰ）函数定义域为，求导得，‎ 令 ‎①若，则恒成立，此时在上单调递减；‎ ‎②若，则在上有两个实数解，‎ 当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减 ………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时有两个极值点，‎ 且满足，，. ………9分 ‎ ‎ ………11分 构造函数，。则，…13分 当时，，在上单调递减 又 。即………15分