数学理卷·2018届四川省苍溪中学高三上学期第二学段考试（2017

数学理卷·2018届四川省苍溪中学高三上学期第二学段考试（2017

苍溪中学高2015级高三上学期第二学段考试 数学试题（理科）‎ 时间：10月13日下午3：00——5:00 总分：150分 ‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项，请将正确答案代号填在答题卡相应位置.）‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎2. 函数图像的一个对称中心可以是 （ ）‎ A． B．C．D．‎ ‎3. 函数的定义域为 （ ）‎ A． B．C． D. ‎ ‎4. 已知命题：；命题：.以下命题为真命题的是 （ ）‎ ‎ A． B．C． D．‎ ‎5. 已知点为函数的图像的最高点，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，，，则的大小关系是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知（为常数），则（ ）‎ A．恒为B．恒为正 C．恒为负 D．取值不定 ‎8. 已知函数的图像向右平移个单位得到的函数图像关于轴对称，则函数在上的最大值与最小值之和为 ‎ ‎ （ ）‎ ‎ A． B．C．D．‎ ‎9.已知函数的值域为,则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A．(-1,2) B．(-∞,-1] C． [-1,2) D．{-1} ‎ ‎10.已知函数是其导函数，则函数的一个单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 11．已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，若，‎ ‎，，则的大小关系为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程 恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ）‎ A．B． C.D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置.）‎ ‎13.已知角的终边经过点，且，则．‎ ‎14.设是定义在上的奇函数，当时，，则．‎ ‎15.函数的最小值为．‎ ‎16.下列说法中，正确的有（把所有正确的序号都填上）.‎ ①“”的否定是“”；‎ ②函数的最小正周期是；‎ ③函数的零点有个；‎ ④；‎ ⑤若是定义在R上的可导函数，则“在处有极值”是“”的充分不必要条件.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. （本小题满分10分）已知全集，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）在中，分别是角的对边，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；‎ ‎（2）求的单调区间．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若点()为函数与的图象的公共点，试求实数的值；‎ ‎（2）设是函数的图象的一条对称轴，求的值;‎ ‎(3)求函数的值域。‎ ‎21. （本小题满分12分）设为实数，函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数有两个不同的零点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ 苍溪中学高2015级高三上学期第二学段考试理科数学参考答案 ‎1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.C 11.D 12.C ‎13. 14.15. 16.①④⑤‎ ‎17.解（1）或，（5分）（2）①当时，解得；②当时，，解得：，综上：为所求.（10分）‎ ‎18解：（1）由已知及正弦定理得，即，又，所以，所以 ‎，在中，，所以，所以．（6分）（2）由余弦定理得：，∴，‎ ‎∴，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，‎ ‎∴的面积的最大值为．（12分）‎ ‎19.，又故所求切线方程为，，解得（5分）（2）由（1）知，①若则恒成立，函数在上单调递增（7分）②若令得，且时，单调递增，时，单调递减。综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为（12分）‎ ‎20．(1)∵点()为函数与的图象的公共点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴（4分）（另：由 ‎ ‎）(2)∵,是函数的图象的一条对称轴∴ ∴=（8分） (3) ∵∴‎ ‎∵ ∴ ∴ ∴.即函数的值域为.（12分）‎ ‎21.（1）.令，则或.当变化时，的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 所以的极大值是，极小值是.（6分）‎ ‎（2）函数，由此可知，取足够大的正数时，有，‎ 取足够小的负数时，有，曲线与轴至少有一个交点.由（1）知，.曲线与轴仅有一个交点，或，‎ 即或，或，当时，曲线与轴仅有一个交点.（12分）‎ ‎22．（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图象在上有两个不同交点.又，即当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.从而，‎ 又有且只有一个零点是，且在时，，在时，‎ ‎，所以草图如下：‎ 可见，要想函数与函数在函数上有两个不同交点，只需.（6分）‎ ‎（2）由（1）可知分别为方程的两个根，即，‎ 所以原式等价于.因为，所以原式等价于.‎ 又由作差得，，即.所以原式等价于.‎ 因为，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立.令，则，‎ 当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；当时，可见当时，；当时，，‎ 所以在时单调递增，在时单调递减.‎ 又，所以在上不能恒小于，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.（12分）‎ 苍溪中学高2015级高三上学期第二学段考试理科数学参考答案 ‎1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.C 11.D 12.C ‎13. 14.15. 16.①④⑤‎ ‎17.解（1）或，（5分）‎ ‎（2）①当时，解得；②当时，，解得：，综上：为所求.（10分）‎ ‎18解：（1）由已知及正弦定理得，即，又，所以，所以，在中，，所以，所以．（6分）（2）由余弦定理得：，∴，‎ ‎∴，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，‎ ‎∴的面积的最大值为．（12分）‎ ‎19.，又故所求切线方程为，，解得（5分）（2）由（1）知，①若则恒成立，函数在上单调递增（7分）②若令得，且时，单调递增，时，单调递减。综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为（12分）‎ ‎20．(1)∵点()为函数与的图象的公共点 ‎∴‎ ‎∴ ∵‎ ‎∴（4分）（另：由 ‎ ‎）‎ ‎(2)∵,是函数的图象的一条对称轴∴ ∴=（8分）‎ ‎ (3) ∵∴∵ ∴ ∴ ∴.即函数的值域为.（12分）‎ ‎21.（1）.令，则或.当变化时，的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 所以的极大值是，极小值是.（6分）‎ ‎（2）函数，由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，曲线与轴至少有一个交点.由（1）知，.曲线与轴仅有一个交点，或，即或，或，当时，曲线与轴仅有一个交点.（12分）‎ ‎22．（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图象在上有两个不同交点.又，即当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.从而，‎ 又有且只有一个零点是，且在时，，在时，，所以草图如下：‎ 可见，要想函数与函数在函数上有两个不同交点，只需.（6分）‎ ‎（2）由（1）可知分别为方程的两个根，即，‎ 所以原式等价于.因为，所以原式等价于.‎ 又由作差得，，即.所以原式等价于.‎ 因为，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立.令，则，‎ 当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；当时，可见当时，；当时，，‎ 所以在时单调递增，在时单调递减.‎ 又，所以在上不能恒小于，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.（12分）‎