2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．“所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理 A．完全正确 B．推理形式不正确 C．错误，因为大小前提不一致 D．错误，因为大前提错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论定义即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查逻辑推理，难度不大.‎ ‎2．是虚数单位，复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.‎ ‎3．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.‎ 考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.‎ ‎4．展开式中x2的系数为（ ）‎ A．15 B．60 C．120 D．240‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B ‎5．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过条件概率相关公式即可计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，‎ ‎，故，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.‎ ‎6．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为 （ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得函数的图像如图所示，‎ 联立得交点（1,1）‎ 所以叶形图面积为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．已知随机变量，且，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由于，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.‎ ‎8．若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，设，其中，则，故选B.‎ 考点：抛物线.‎ ‎9．如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D，则 A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的几何意义转化，，再通过直线过焦点可知，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 抛物线焦点为，,,，于是 ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.‎ ‎10．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）‎ A．800 B．5400 C．4320 D．3600‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法，∴共有种排法，故选D ‎11．函数的图象大致为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.‎ ‎12．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得对任意的恒成立，‎ 设 则 ‎ 当时在上恒成立， 在上单调递增，又 ‎ 在上 不合题意；‎ 当时，可知在单调递减，在单调递增，要使 ‎ 在在上恒成立，只要 ，令 可知在上单调递增，，在在上单调递减，又 故选A.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.‎ ‎14．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数，‎ 所以，从而得到，即，‎ 所以，所以，所以切点坐标是，‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.‎ ‎15．已知等差数列满足，且，，成等比数列，则的所有值为________.‎ ‎【答案】3，4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等差数列公差为，根据题意求出公差，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为，‎ 因为，且，，成等比数列，‎ 所以，即，解得或.‎ 所以或.‎ 故答案为3，4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.‎ ‎16．下列命题中 ‎①已知点，动点满足，则点的轨迹是一个圆；‎ ‎②已知，则动点的轨迹是双曲线右边一支；‎ ‎③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于；‎ ‎④在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；‎ ‎⑤设定点，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆.‎ 正确的命题是__________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎①中，根据，化简得：，所以点P的轨迹是个圆；②因为,所以根据双曲线的的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确；③根据相关性定义，正确；④因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；⑤因为，且当时取等号，不符合椭圆的定义，错误.综上正确的是①②③.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2 = c．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； ‎ ‎（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：(1)先根据二倍角公式降次，再根据正弦定理将边化为角，结合两角和正弦公式以及三角形内角关系化简得sinB+sinA=2sinC ，最后根据正弦定理得a+b=2c (2)先根据三角形面积公式得ab=8，再根据余弦定理解得c．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：‎ 即，‎ ‎∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC ‎∴sinB+sinA+sinC=3sinC…∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c ‎∴a，c，b成等差数列． ‎ ‎（Ⅱ）…,‎ c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24．…∴c2=8得 ‎18．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】(1).(2)见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.‎ ‎(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列的公差为().‎ 由题意得则 化简得解得 所以.‎ ‎(2)证明：，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.‎ ‎19．“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：‎ 运动达人 参与者 合计 男教师 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 女教师 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 合计 ‎100‎ ‎40‎ ‎140‎ ‎（Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为，写出的分布列并求出数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关；‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算比较3.841即可得到答案；‎ ‎（2）计算出男教师和女教师人数，的所有可能取值有，分别计算概率可得分布列，于是可求出数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据列联表数据得：‎ 不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关 ‎（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人 由题意可知，的所有可能取值有 则；；；‎ 的分布列为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验统计思想，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力.‎ ‎20．已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.‎ ‎【答案】（I）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，‎ 解得.又 ‎ ‎，且当时等号成立，所以长度的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.‎ ‎21．已知函数，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式 在 上有解，那么在上， .但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论.‎ 解析：（1），‎ ‎①当时，在上， 在上单调递增；‎ ‎②当时，在上；在上；所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述，当时， 的单调递增区间为，当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.‎ ‎①当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得，‎ ‎②当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；‎ ‎③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为 ‎，所以，即，即，不满足题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”.‎ ‎22．已知在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程；‎ ‎(2)已知,圆上任意一点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)圆的参数方程为(为参数).‎ 所以普通方程为,‎ ‎∴圆的极坐标方程：. ‎ ‎(2)设点,‎ 则点M到直线的距离为,‎ 的面积,‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．‎ ‎23．‎ 设.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点分段法将去绝对值，分成三段，令每一段大于，求解后取并集；（2）由（1）时，，分离常数得，右边函数为增函数，所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）,‎ 所以当时,, 满足原不等式；‎ 当时,, 原不等式即为,‎ 解得满足原不等式；‎ 当时,不满足原不等式；‎ 综上原不等式的解集为.‎ ‎（2）当时,, 由于原不等式在上恒成立,, 在上恒成立,‎ ‎, 设,易知在上为增函数,.‎ 考点：不等式选讲.‎