人教A版文科数学课时试题及解析（31）等比数列

人教A版文科数学课时试题及解析（31）等比数列

课时作业(三十一)　[第31讲　等比数列]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．下列四个结论中，正确的个数是(　　)‎ ‎①等比数列{an}的公比q>0且q≠1，则{an}是递增数列；‎ ‎②等差数列不是递增数列就是递减数列；‎ ‎③{an}是递增数列，{bn}是递减数列，则{an－bn}是递增数列；‎ ‎④{an}是递增的等差数列，则{2an}是递增的等比数列．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎2． 等比数列{an}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5等于(　　)‎ A．27 B．27或－27‎ C．81 D．81或－81‎ ‎3． 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝‎4a，a2＝2，则a1＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D. ‎4． 各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝27＋，则通项公式an＝________.‎ ‎5． 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎6．在等比数列{an}中，若a‎2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．－4‎ ‎7．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)‎ A.或 B.或 C. D. ‎8． 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)‎ A．3×44 B．3×44＋1‎ C．44 D．44＋1‎ ‎9．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D．4‎ ‎10． 在△ABC中，tanA是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tanC＝________.‎ ‎11．设项数为10的等比数列的中间两项与2x2＋9x＋6＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．‎ ‎12． 在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．‎ ‎13． 已知a，b，c是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则的值为________．‎ ‎14．(10分) 设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,‎6a1＋a3＝30，求an和Sn.‎ ‎15．(13分) 已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．‎ ‎16．(12分) 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对n∈N*，试比较＋＋…＋与的大小．‎ 课时作业(三十一)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 对于①，不一定为递增数列，还可能为递减数列；对于②，常数列也是等差数列；对于③，按照函数的单调性考虑，知结论正确；对于④，依据指数函数的性质知，结论正确．故选B.‎ ‎2．B　[解析] a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝q2＝9，所以q＝±3，所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝±27，故选B.‎ ‎3．A　[解析] 设{an}的公比为q，则有a1q2·a1q6＝‎4aq6，解得q＝2(舍去q＝－2)，所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故选A.‎ ‎4．3n－1　[解析] 由已知等式可得a‎2a3＝27，设等比数列的公比为q，则有aq3＝27，所以q＝3，通项公式为an＝3n－1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 将已知两等式相减得‎3a3＝a4－a3，即a4＝‎4a3，所以公比q＝4.故选B.‎ ‎6．B　[解析] 设公比为q，由a‎2a3a6a9a10＝32得a＝32，所以a6＝2，‎ 所以＝＝a6＝2.故选B.‎ ‎7．C　[解析] 由题意可知q≠1，＝，解得q＝2，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得其前5项和为.因此选C.‎ ‎8．A　[解析] 由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44，所以选择A.‎ ‎9．A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则有(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，得a1＝－4d，‎ 所以＝＝＝＝2.故选A.‎ ‎10．1　[解析] 由已知，有解得 ‎∴tanC＝－tan(A＋B)＝－＝1.‎ ‎11．243　[解析] 设此数列为{an}，由题设a‎5a6＝3，从而a‎1a2…a‎9a10＝(a‎5a6)5＝35＝243.‎ ‎12．2　[解析] 由已知得(a‎4a5)4＝16，因为an>0，所以a‎4a5＝2，所以a4＋a5≥2＝2.‎ ‎13．20　[解析] 依题得①或②或③ 由①得a＝b＝c，与“a，b，c是递减的等差数列”矛盾；‎ 由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，a>b，‎ 因此有a＝－2b，c＝4b，＝20；‎ 由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，因此有a＝4b，c＝－2b，＝20.‎ ‎14．[解答] 设{an}的公比为q，由题设得 解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；‎ 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.‎ ‎15．[解答] (1)由q＝3，S3＝得＝，‎ 解得a1＝.所以an＝×3n－1＝3n－2.‎ ‎(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.‎ 因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；‎ 因为当x＝时f(x)取得最大值，‎ 所以sin＝1.‎ 又0<φ<π，故φ＝.‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2＝·，‎ 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.‎ 因为d≠0，所以d＝a1＝a，‎ 故通项公式an＝na.‎ ‎(2)记Tn＝＋＋…＋.因为a2n＝2na，‎ 所以Tn＝＝·＝.‎ 从而，当a＞0时，Tn＜，当a＜0时，Tn＞.‎