高中数学选修2-2教案第三章 2_2(一)
2．2最大值、最小值问题(一)
明目标、知重点
1．理解函数最值的概念，了解它与函数极值的区别与联系．
2．会求某闭区间上函数的最值．
1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如图，函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值，
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
探究点一 函数的最值
思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
小结 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，
最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：
1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．
2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．
3．比较大小，确定结论．
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
∵f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
∴当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，
f(π)＝π－.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．若仅是求最值，则简化为：
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0
0)上的最大值和最小值．
解 f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
因为0≤x≤a，所以当02时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，a)
a
f′(x)
－
＋
f(x)
4
减函数
－
增函数
a3－4a＋4
从上表可知：当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个．
所以当22时，f(x)的最大值为f(a)＝a3－4a＋4.
综上可得：
当02时，f(x)min＝－，f(x)max＝a3－4a＋4.
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，
可先分离参数．
例3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
[呈重点、现规律]
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
一、基础过关
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B. C. D.
答案 B
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.
3．函数y＝的最大值为( )
A. B．e C．e2 D.
答案 A
解析 令y′＝＝＝0.
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，
所以ymax＝.
4．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B．[－6，－]
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
答案 C
解析 当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥max.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－>0，
∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，
∴a≥－6.
当x∈[－2,0)时，a≤，
∴a≤min.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，
当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
答案 －
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－10)．
y′＝2t－＝
＝.
当0时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．
10．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是______．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴，
∴.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值c＋5
单调递减↘
极小值c－27
单调递增↗
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
12．设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈(0，)时，g′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(0，)上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g()＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，
则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
所以g(x)≥－≥h(x)．
又因为两等号无法同时取到，所以g(x)>h(x)
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，当x∈[0,1]时，求证：1－x≤f(x)≤.
证明 要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，
只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.
记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，
则h′(x)＝x(ex－e－x)．
当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，
因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0，
所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．
要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤，
只需证明ex≥x＋1.
记K(x)＝ex－x－1.则K′(x)＝ex－1，
当x∈(0,1)时，K′(x)＞0.
因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0，
所以f(x)≤，x∈[0,1]．
综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0,1]．
