江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第13周周考数学（理）试卷

江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第13周周考数学（理）试卷

江西省赣州市石城县石城中学2020届 高三下学期第13周周考数学（理）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若则z的虚部是( )‎ A.-2 B.3i C.3 D.2i ‎2.已知集合则集合A的子集个数为 ( )‎ A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎3.函数若角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过P(-5,12),则f(cosα)=( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.设是等比数列的前n项和，若，则首项（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎5．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知正数a、b满足，则的最大值是（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎10.(错题重现）已知函数 f (x) = sin w x+ cos w x (w > , x Î R) ，若f ( x) 的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间( ,p ) ，则w 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数满足，当时，，则函数在上的零点个数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知双曲线：，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间.已知为原点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数为偶函数，则______.‎ ‎14.已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为__________.‎ ‎15．函数的值域为_________．‎ ‎16.在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.(错题重现）若的内角A，B，C的对边为a，b，c，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值.‎ ‎18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎19.已知点，是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上一点，当时，面积达到最大，且最大值为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程﹔‎ ‎（2）直线与y轴交于点Q，与椭圆交于M，N两点，若，求实数m的值.‎ ‎20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.‎ ‎（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；‎ ‎（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线与的公切线方程：‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.‎ （二） 选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. ‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A A B B D D D C A B B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14.34 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17【详解】解：（1）由正弦定理，‎ 及，‎ 可得，即，‎ 由余弦定理得：；‎ ‎（2）由，得 ，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 由 ‎ 得，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即.‎ ‎18【详解】解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴，‎ ‎∵，，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，是的中点，∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.‎ ‎∵平面，∴直线与平面所成的角即为，‎ 即.‎ 不妨设菱形的边长为2，则在等边三角形中，，‎ 在中，，‎ 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，可得，‎ 而平面的一个法向量为，‎ 则，‎ ‎∴二面角的余弦值的大小为.‎ ‎19【详解】解：（1）由题可知，当点在短轴端点时，‎ 的面积最大值为①，‎ 此时，所以②，‎ 又③，‎ 联立①②③，解之得，，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设，， ‎ 由 化简得：，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 与联立解得：，，‎ 代入，‎ 解得：，满足，‎ ‎.‎ ‎20【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为，‎ 用表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则服从二项分布，即，‎ 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率.‎ ‎（2）的可能取值为：0，1，2，…，.‎ ‎，，，……，‎ ‎，.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎……‎ ‎……‎ 的数学期望为：‎ ‎， （1）‎ ‎. （2）‎ ‎（1）-（2）得：‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎21【详解】解：（1）时，，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为 由两条切线重合得 ，则 ，‎ 所以，公切线方程为；‎ ‎（2），‎ ‎，设其零点为，，‎ ‎，，‎ 令，可得，则 ‎ 令，，‎ 又令，，则单调递减，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎ ，易知， ，‎ 令，，‎ 则在上递增，‎ ‎（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22【详解】‎ ‎（1）圆C的普通方程为，又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，则由解得，，得；‎ 设，则由解得，，得；‎ 所以 ‎23【详解】解：（1）当时，得，∴；‎ 当时，得，∴无解；‎ 当时，得；‎ 综上，不等式的解集为或.‎ ‎（2）∵，∴，即，‎ 又由均值不等式有：，，‎ 两式相加得，∴.‎