数学卷·2018届河北省定州中学高三（承智班）上学期期中考试（2017

数学卷·2018届河北省定州中学高三（承智班）上学期期中考试（2017

‎ 河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期中考试试题 一、选择题 ‎1．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）‎ A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎2．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（　）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎4．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知，若，则当取得最小值时，（ ）‎ A. 2 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎6．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①数列是等差数列；②；③.‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3‎ ‎7．设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线（）上任意一点， 是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎8．若函数，则函数的零点个数是（ ）‎ A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 ‎9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形 ‎10．已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，‎ 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.‎ ‎14．已知圆的弦长为，若线段是圆的直径，则____；‎ 若点为圆上的动点，则的取值范围是_____．‎ ‎15．在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．‎ ‎ (1)数列的通项公式为=____________；‎ ‎ (2) =___________．‎ ‎16．已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．‎ 三、解答题 ‎17．函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最值；‎ ‎（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.‎ ‎19．设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20．在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围。‎ 参考答案 DBCDC BADBC ‎ ‎11．A ‎12．D ‎13．‎ ‎14． 2 ‎ ‎15． ; ‎ ‎16．‎ ‎17．（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 证明见解析．‎ ‎（Ⅰ）．‎ 当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ 综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是． ‎ ‎(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，‎ 则． ‎ 要证≥，即证≥，即+≥0，‎ 即证≥．构造函数，则， ‎ 由解得，由解得，‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎∴ ，‎ 即≥0成立．从而≥成立．‎ ‎18．（Ⅰ）最大值是10+a，最小值是(Ⅱ)．‎ ‎（Ⅰ） ， ‎ 由解得或；由解得，‎ 又，于是在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ 最大值是10+a，最小值是．‎ ‎ (Ⅱ) 设切点， ‎ 则， ‎ 整理得，由题知此方程应有3个解．‎ 令， ‎ ‎∴ ，‎ 由解得或，由解得，‎ 即函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ 要使得有3个根，则，且， ‎ 解得， 即a的取值范围为．‎ ‎19．（Ⅰ）(Ⅱ) ．‎ ‎（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，‎ 由S3=15有‎3a1+=15，化简得a1+d=5，① ‎ 又∵ a1，a4，a13成等比数列，‎ ‎∴ a42=a‎1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简3d=‎2a1，② ‎ 联立①②解得a1=3，d=2，‎ ‎∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ∴ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎ (Ⅱ) ∵ +11，即，‎ ‎∴ ，又≥6 ，‎ 当且仅当n=3时，等号成立，‎ ‎∴ ≥162， ∴ ．‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心到准线的距离用表示，可得值； （2）设，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得中点坐标，求出直线的垂直平分线方程，可求得点横坐标，进一步求出其取值范围．‎ 试题解析：根据题意，点在的垂直平分线上，‎ 所以点到准线的距离为，‎ 所以.‎ ‎（2）设，‎ 设直线代入到中得，‎ 所以，‎ 又中点，‎ 所以直线的垂直平分线的方程为，‎ 可得.‎