数学卷·2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

玉溪一中高2018届高三上学期第二次月考 理科数学试题 一、选择题（每小题给出的四个选项只有一各符合题意，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 设集合，集合，则AB=( )‎ A. （1，2） B. [1，2] C. [ 1，2） D. （1，2 ]‎ ‎【答案】D ‎【解析】求解不等式可得：，‎ 求解函数的定义域可得：，‎ 则AB=（1，2 ].‎ 本题选择D选项.‎ ‎2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）‎ A. 2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,因为是纯虚数,‎ 所以.故A正确.‎ 考点：1复数的运算;纯虚数的概念.‎ ‎3. 某中学高三从甲、乙两个班中各选7名学生参加数学竞赛，他们的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为(　　)‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，解得 ‎76，81，81，（80+y），91，91，96，中位数是80+y=83，所以 考点：1．茎叶图；2．平均数，中位数．‎ ‎4. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出，需要x>4，本题选择B选项.‎ 方法二：若空白判断框中的条件x>3，输入x=4，满足4>3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，‎ 若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2，故B正确；‎ 若空白判断框中的条件x⩽4，输入x=4，满足4=4，满足x⩽4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，‎ 若空白判断框中的条件x⩽5，输入x=4，满足4⩽5，满足x⩽5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以．‎ 考点：1．对数；2．大小比较．‎ ‎7. 已知函数 ）的部分图象如图所示，则的解析式是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为最大值为2，最小值为-2，所以A=2，因为代入可得，所以表达式为.‎ 考点：本小题主要考查由函数的图象求函数的解析式.‎ 点评：由函数的图象求函数的解析式，一般是由最值求A，由周期求，由特殊值求.‎ ‎8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题的个数为（ ）‎ ‎①若，，则 ②若，，则 ‎ ‎③若，，则 ④若，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】逐一考查所给的说法：‎ ‎①利用线面垂直的性质可得：若，，则，原说法正确；‎ ‎②若，，则，原说法正确；‎ ‎③若，，则与的关系无法确定，原说法错误 ‎④若，，则，原说法正确.‎ 综上可得：命题中真命题的个数为3.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（       ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；‎ 设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为 ‎，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D 考点：双曲线的简单性质 ‎10. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图还原几何体如图所示：‎ 三棱锥O−ABC,OE⊥底面ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴可判断;△OAB≌△OBC的直角三角形，‎ S△OAC=S△ABC=×2×1=1，‎ S△OAB=S△OBC=，‎ 该四面体的表面积：，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎11. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点坐标为F（1,0），准线方程是，根据抛物线定义，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和可以看成抛物线上一动点到焦点和直线的距离之和，其最小值为焦点F到直线的距离，。故选A。 ‎ ‎【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。‎ ‎12. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴对任意的x∈[1,2],f′(x)⋅x+f(x)>0恒成立 ‎⇔对任意的x∈[1,2],恒成立，‎ ‎⇔对任意的x∈[1,2],2x2−2tx+1>0恒成立,‎ ‎⇔恒成立，‎ 又在[1,2]上单调递增,∴，‎ ‎∴.‎ 则实数的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知，命题“若=3，则≥3”的否命题是______________‎ ‎【答案】若¹3，则<3．‎ ‎【解析】略 ‎14. 在中，若，则的面积为_______________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意结合余弦定理有：，即： 1=a2+3−3a，‎ 整理得：(a−1)(a−2)=0，‎ 解得：a=1或a=2，‎ 当a=1时，.‎ 当a=2时，.‎ 综上可得：的面积为或.‎ ‎15. 已知定义域为的奇函数.当时,，则不等式的解集为__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由奇函数的性质可得：，‎ 当时，，则：，‎ 则函数f(x)的解析式为：‎ 而不等式等价于，或，‎ 即x>1时f(x)<0或x<1时f(x)>0，‎ 绘制函数f(x)的图象，观察可得不等式的解集为：.‎ ‎16. 已知函数，若关于的方程 有8个不同的实数根，则的取值范围为________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意作出f(x)的简图：‎ 由图象可得当f(x)∈(0,1]时,有四个不同的x与f(x)对应。‎ 再结合题中“方程f2(x)−bf(x)+c=0有8个不同实数解”，‎ 可以分解为形如关于k的方程k2−bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，‎ 且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数，‎ 学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...‎ 此不等式组表示的区域如图：‎ 而几何意义表示平面区域内的点和(1,2)的直线的斜率，‎ 结合图象KOA=2,KAB=−1，‎ 故z>2或z<−1，‎ 故答案为：(−∞,−1)∪(2,+∞).‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ 三、解答题（解答应给出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共60分）‎ ‎17. 在数列中，，当时，其前项和满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求的前项和．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中所给的递推关系证得，则数列是等差数列；‎ ‎(2)结合(1)中的结论求得通项公式，然后错位相减可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由递推式得，从而，‎ 则，据此：.‎ 据此可得数列是等差数列；‎ ‎（2）结合(1)的结论可得：数列的通项公式为：，‎ 则：，①‎ ‎，②‎ ‎①-②整理可得：.‎ ‎18. 四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，‎ E为PD的中点，PA＝2AB＝2．‎ ‎（1）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可证得AF⊥PC．EF⊥PC．利用线面垂直的判断定理可得PC⊥平面AEF．‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的平面角的正弦值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵PA＝CA，F为PC的中点，‎ ‎∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．‎ ‎∵AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．‎ ‎∵E为PD中点，F为PC中点，‎ ‎∴EF∥CD．则EF⊥PC．∵AF∩EF＝F，‎ ‎∴PC⊥平面AEF．‎ ‎（2）解：以点为坐标原点，直线分别为 轴和轴，建立空间直角坐标系。‎ ‎ ‎ 可求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，‎ 所以 .‎ ‎19. 现有四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚正面向上的概率均为，这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.‎ ‎(1)若出现一正一反与出现两正的概率相等，求的值；‎ ‎(2)求的分布列及数学期望(用字母表示)；‎ ‎(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数a的方程，解方程可得：；‎ ‎(2)所有可能取值为0,1,2,3,4，求解相应的概率可得分布列，然后计算可得数学期望为；‎ ‎(3)结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件得，所以 .‎ ‎(2)所有可能取值为0,1,2,3,4,，，，，，所以 ‎ ‎（3）因为，所以，，‎ 由 解之得 ‎ ‎20. 若分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为.当取最大值时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用待定系数法确定圆心坐标可得圆的方程是；‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和均值不等式的结论可得当取最大值时,求直线的方程是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以圆半径为2,，圆心是原点关于直线的对称点。设，由 得，所以 ‎ 圆的方程为 ‎ ‎（2）设直线的方程为，则圆心到直线的距离，所以 ，由 得，设直线与椭圆交于两点，则 ， ，‎ ‎ ，当且仅当即 时等号成立。‎ ‎ 所以当时，取最大值。此时直线的方程为 ‎ ‎21. 已知函数。‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在上的最小值；‎ ‎（3）证明：，都有．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为 ‎(2)分类讨论可得：当时，；当，‎ ‎；当时，‎ ‎(3)构造新函数，结合(1)的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）时，‎ 切线斜率，切点为，切线方程为 ‎（2），令 ‎ ①当时，，在上单调递增，‎ ‎；‎ ‎②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，；‎ ‎③当时，，在上单调递减，‎ ‎（3）要证的不等式两边同乘以，则等价于证明 令，则由（1）知 令，则，当时，，递增；‎ 当时，，递增减；‎ 所以，且最值不同时取到，即 ‎，都有。‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ ‎22. 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点. ‎ ‎（1）求、两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线与直线（为参数）分别相交于两点，求线段的长度.‎ ‎【答案】(1)或；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 或；（2）由曲线的普通方程为，将直线代入，‎ 整理得.‎ 试题解析：（1）由得：，‎ ‎∴，‎ 即.‎ ‎∴两点的极坐标为：或.‎ ‎（2）由曲线的极坐标方程化为，‎ 得到普通方程为.‎ 将直线代入，‎ 整理得.‎ ‎∴.‎ ‎23. 已知关于的不等式（其中）。‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 时，，得（1分）‎ 时，，得（2分）‎ 时，，此时不存在 （3分）‎ ‎∴不等式的解集为（5分）‎ ‎（2）∵设 故，即的最小值为（8分）‎ 所以有解，则 解得，即的取值范围是（10分）‎ 考点：解绝对值不等式、恒成立问题.‎ ‎ ‎