数学文卷·2017届山东省德州一中等齐鲁教科研协作体、湖北省部分重点中学高三下学期高考冲刺模拟（二）（2017

数学文卷·2017届山东省德州一中等齐鲁教科研协作体、湖北省部分重点中学高三下学期高考冲刺模拟（二）（2017

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2017年高考冲刺模拟（二）‎ 数学（文）试题 命题学校：德州一中 命题人：王辉 宰令月 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分 注意事项：‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。‎ 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其他选项 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．(原创、易)已知集合，，则集合的含有元素1的子集个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，子集个数为个 ‎【考点】集合中的元素的有关问题 ‎2．（原创、易）若，其中（为虚数单位），则直线的斜率为（ ）‎ A．-1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎【考点】复数运算与直线的斜率 ‎3.（原创、易）从编号为1～50的50名学生中随机抽取5人来进行学情的测评分析，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5名学生的编号可能是( )‎ A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6, 16 ,32‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎【考点】抽样方法，系统抽样 ‎4．（改编、易）若直线上存在点满足约束条件,则实数 的最大值为 （　　）‎ ‎ A．-1 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】线性规划 5． ‎（改编、易）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设外接球半径为，则有，所以，所以 ‎【考点】三视图及外接球的体积 ‎6. （改编、易）若双曲线的渐近线与圆相离，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得 ‎【考点】直线与圆的位置关系及双曲线的离心率 7. ‎（选编、中）在中，角的对边分别是，若则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得而（当且仅当时取等号）.所以即，又，故，‎ ‎8.（选编、中）已知方程在上有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与的图象在一定有一个交点，依题意只需在上有2个交点即可.作的图象，利用数形结合的思想求解即可 ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎9.（选编、中）函数，则的图象是（ ）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题意得，，‎ 则，‎ 所以当时，，且在[0，+∞）是减函数，在（﹣∞，0）上是增函数，‎ 根据A、B、C、D选项中的图象，只有C的图象符合条件，‎ 故选：C．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎10.（选编、难）如图，在△中，分别是的中点，若 ‎，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（　　）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知 ‎ 在线段上时，‎ ‎ 在线段上时，‎ ‎ 故在四边形内（含边界）时 ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ 第II卷 （非选择题 共100分）‎ 二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11.（原创、易）阅读右侧程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的自然数为 ．‎ 开始 否 是 输出S 结束 i＜①‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】略 ‎ ‎【考点】程序框图 ‎12.（原创、易）数列的前项和为，，则数列的前50项和为______________ .‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎【考点】数列分组求和 13. ‎（原创、中）等腰的顶角，，以为圆心，为半径作圆，为该圆的一条直径，则的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】向量的分解与数量积运算 14. ‎（原创、易）一只小虫在半径为3的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】几何概型 ‎15.（原创、中）以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为椭圆；‎ ‎②设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为圆；‎ ‎③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线与椭圆有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为　　（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】①不正确，若为椭圆则需满足；‎ ‎②正确，是中点，，所以的轨迹是以为直径的圆；‎ ‎③正确，方程的两根分别是，故正确；‎ ‎④不正确，双曲线焦点在轴上，椭圆的焦点在轴上.‎ ‎【考点】圆锥曲线的定义及性质 三．解答题（本大题共6小题，共75分.应写出证明过程或演算步骤．)‎ ‎ 16.（改编、易）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；‎ ‎（2）请估计本次测试的平均成绩；‎ ‎（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．‎ ‎【考点】古典概型；频率分布直方图．‎ ‎16.解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，‎ ‎∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：‎ ‎0.06×50=3（人）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ‎（2）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，‎ ‎∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，..................7分 ‎∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，‎ ‎∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，‎ 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，‎ 设第一组中三人分别为，其中为女生，第五组中四人分别为，其中为男生，‎ 则基本时间空间为 n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m=7，‎ ‎∴所求概率为p=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎17.（原创、易）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.‎ （1） 求函数的单调递增区间；‎ （2） 若中内角的对边分别为且求的值及的面积.‎ ‎17.解：（1）‎ ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 因为相邻两对称轴之间的距离为，所以 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 令 的单增区间为┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎ ‎ 在中，由余弦定理可得 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】三角函数的性质与解三角形 ‎18.（选编、易）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．‎ ‎（1）证明：EF⊥BD；‎ （1） 求多面体ABCDEF的体积．‎ 图中BD应是虚线。‎ ‎（1）证明：连接AC 四点共面 ‎∵ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，.......................1分 ‎∵EA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥EA，..................3分 ‎∵EA、AC⊂平面EACF，EA∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面EACF，...................5分 又∵EF⊂平面EACF，‎ ‎∴EF⊥BD；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （2） 解：∵BD⊥平面EACF，‎ ‎∵ABCD是边长为2的正方形，‎ ‎∴AC=，.......................8分 又EA=1， FC=2，‎ ‎∴，.......................10分 ‎∴．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎19.（选编、中）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令,且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19.解：（1）由题意知：即得┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（2）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎【考点】等比数列的性质及列项相消求数列的和 ‎20．（原创，难）本小题满分13分）‎ 已知函数，对任意实数，都有成立.‎ ‎ （1）求函数所有零点之和；‎ （2） 对任意实数，函数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.解：（1）由得，，所以.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 则，‎ 设是的零点，可知也是的零点， ‎ 不妨设的零点是，则有.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ‎ 因为单调递增，设的零点为，有，‎ ‎ 则 ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ‎ 所以，‎ ‎ 故函数所有零点之和为0. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎ （2）解：，┅┅┅┅┅┅6分 ‎ 当时，因为，所以，在上单调递减，‎ ‎ 此时与不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎ 当时，令，‎ ‎ 若即时，，，在上单调递增.‎ ‎ 成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎ 若即时，设的零点为，‎ ‎ 则，. 所以有.‎ ‎ 则当时，，，在上单调递减，‎ ‎ 与不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎ 综上：实数的取值范围是.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 ‎【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题 ‎21．（原创，难）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，满足.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，‎ 与直线交于点（介于两点之间）.‎ ‎(ⅰ)求证：；‎ ‎(ⅱ)是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎21.解：（1）设，则=，‎ 所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分 ‎ 因为=4，所以.‎ ‎ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ‎ 故椭圆C的标准方程为. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎ （2）(ⅰ)设方程为，与联立，消得 ‎ 由题意知，解得.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.‎ 设直线方程：，，‎ 联立，整理得，‎ 由，得，‎ ‎，；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 直线、的斜率之和 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 所以关于直线对称，即，‎ 在和中，由正弦定理得 ‎，，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 又因为，‎ 所以 故成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 ‎(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.‎ 假设存在直线，满足题意.不妨设，，‎ 若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.‎ 所以，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 则，此时直线与平行或重合，与题意不符，‎ 故不存在直线，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 ‎【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.‎ ‎ ‎