数学理卷·2018届广东省珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考（2017

数学理卷·2018届广东省珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考（2017

珠海市第二中学2017－2018学年度第一学期期中考试 高三年级　　（理科数学）试题 考试时间150分钟，总分120分， 命题人： 审题人：‎ 考生注意：‎ ‎1．答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎2．答非选择题时，请将答案写在答题卡上对应题号的答题区域，超出区域和写在本试卷上无效.‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，‎ 则右图中阴影部分所表示的集合为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若为第二象限角，则复数（为虚数单位）对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）‎ A． ‎ B．‎ C． D．‎ ‎4.下列有关命题的说法正确的是 （ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”； ‎ B．“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件；‎ C．命题“，使得”的否定是：“，均有”；‎ D．命题“已知为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题是真命题.‎ ‎5.函数且的图像大致是 （ ）‎ A.B. C. D.‎ ‎6.已知函数，将的图像向左平移个单位长度后所得的函数图像过点，则函数 （ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 ‎ C．在区间上有最大值 D．在区间上有最小值 ‎7.若，则中值为的有（）个 A．200 B．‎201 C．402 D．403‎ ‎8．若函数，，的零点分别为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设命题若定义域为的函数不是偶函数，则，. ‎ 命题在上是减函数,在上是增函数.则下列判断错误的是( ) ‎ A．为真 　　 B．为假 　　 C．为假 D.为真 ‎10.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是 （ ）‎ A．函数是周期函数； B．函数为上的偶函数；‎ C．函数为上的单调函数； D．的图象关于点对称．‎ ‎11. 在直角三角形中，，，线段上任意一点，且，若，则实数的取值范围为 (  )‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数在上的最大值为，最小值为，‎ 则 （ ）‎ A．0 B．‎2 C．4 D．6‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若函数是定义在上的偶函数，则_________.‎ ‎14．已知正方形的四个顶点分别在 曲线和上，如图所示，若将一个质点随机投入 正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.‎ ‎15．若函数有且只有个不同零点，则实数的取值范围是_____.‎ ‎16．在三角形，角的对边分别为，若,‎ ‎，且,则的面积为___________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必作题：共60分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在三角形，角的对边分别为，若，‎ 且，求.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 一个口袋中装有个红球且和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.‎ ‎(1)用表示一次摸奖中奖的概率；   (2)若，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有次中奖,求的数学期望；‎ ‎(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率,当取何值时， 最大？‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，为三棱柱，且，‎ 四边形为平行四边形，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：； ‎ ‎（3）若，二面角的余弦值为若，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）已知，椭圆的离心率为，直线交直线于点，‎ 求的周长及的面积；‎ ‎（2）当且点在第一象限时，直线交轴于点，，‎ 证明：点在定直线上.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）设.‎ ‎①若函数在处的切线过点，求的值；‎ ‎②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.‎ ‎（2）设函数，且，求证：当时，．‎ ‎(二)选作题：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是直线与曲线面的公共点，求的取值范围.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，对任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 珠海市第二中学2017－2018学年度第一学期期中考试 高三年级　　（理科数学）试题参考答案 一、 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D A ‎ C C A A C B D 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（本题共70分）说明：本答案每题仅提供了一种解法参考，其它解法对应给分.‎ ‎17．【解】（1）由题设知：，‎ ‎∴……………………………………………………………………4分 ‎（2）由题设及（1）知：；‎ ‎∴，又， 得；……………………………7分 ‎∴，又， 得；………………………9分 ‎∴ ，；…………………………………………………11分 ‎∴…………………………………………………………………………12分 ‎18．【解】（1）由题设知：…………………………………………3分 ‎（2）由（1）及题设知： ∴ ………6分 ‎（3）由（1）及题设知：‎ ‎∴ ‎ 即当时，，其为单增区间；当时，，其为单减区间.‎ ‎∴当，即，得时，最大. …………………………12分 ‎19.（1）【证明】连交于点，连交于点，则. ‎ ‎ 由平几知：为的中点，为的中点，‎ 即为的中位线. . ‎ 又.……………3分 ‎（2）【证明】. ‎ ‎ 又. ‎ 在中由余弦定理知：.‎ 又. ‎ 又.‎ 又.……………………7分 ‎（3）【解】作交于，连，由（2）知：.‎ ‎. ……9分 ‎；由知：得；‎ 在中由平几知：，于是得为正方形.‎ 由（2）知：. ………………………12分 ‎20．（1）【解】由题设知：得，∴椭圆的方程为……2分 ‎∴的周长……………3分 由知直线的方程为，得，‎ ‎∴的面积.………………………………………6分（2）【证明】设,由题设知：.‎ 由知，，则有；‎ 由知，，则有；‎ ‎∴两式联立消去点得满足，即； ……………9分 又点在椭圆上，即有， 即，‎ ‎∴两式联立得； 又，即………11分 ‎∴点满足，即点在定直线上. ……………………12分 ‎21．【解】（1）①由题设知：，‎ 得，即．…………………………3分 ‎②由题设知：是增函数，且；‎ ‎（ⅰ）当即时，恒有知是增函数，此时 只需即，得. …………………………5分 ‎（ⅱ）当即时，有知：‎ 时，递减，时有，递增；‎ 由知此时 需即，得.………………7分 由上述知：………………………………………8分 （2） 由题设知：，得“时”等价“时”‎ 设，当时有，即在时为减函数.得，即．‎ 也即，故命题得证明. …………………………12分 ‎22．【解】（1）由题设知：，得 ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ 即．……………………………………5分 ‎（2）由（1）题设知：曲线是以为圆心，2为半径的圆. 则直线过圆心 .‎ ‎ 又由点在直线与曲线面上知：.‎ ‎∴．……………………………………10分 ‎23．【解】（1）∵………………2分……4分 综上，不等式的解集为：……………………5分 ‎（Ⅱ）由（1）题设知：……………………………………………6分 又由知：，即.………………9分 ‎∴实数的取值范围是．……………………10分