2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高二下学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 复数为实数，可得，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，属于基础题，注意运算准确.‎ ‎2．在的展开式中的系数是（ ）‎ A．40 B．80 C．20 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.‎ ‎【详解】‎ 解：由的展开式中，，令，可得，‎ 可得的展开式中的系数是：，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.‎ ‎3．已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a=（ ）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出，代入回归方程可求得．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ 所以，．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点．‎ ‎4．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是 （ ）‎ A．，至少有一个为0 B．，至少有一个不为0‎ C．，全不为0 D．，全为0‎ ‎【答案】B ‎【解析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.‎ ‎【详解】‎ 因为命题“若实数，满足，则，全为0”的否定为“若实数，满足，则，至少有一个不为0”；‎ 因此，用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设为“，至少有一个不为0”.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.‎ ‎5．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．‎ 点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．‎ ‎6．定积分（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数与，所围成的图形的面积，在求出，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由定积分的几何意义可知是由曲线与，所围成的图形的面积，也就是单位圆的，故，，‎ 故，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.‎ ‎7．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ）‎ A．720 B．360 C．270 D．180‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，分两步进行：‎ ‎① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有中情况；‎ ‎② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，‎ 则一共有种不同的安排方案，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.‎ ‎8．设是虚数单位，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：设,‎ 可得：，‎ 则，‎ ‎，‎ 可得：，‎ 可得：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.‎ ‎9．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，分别计算出，的值，由条件概率公式可得，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，‎ 可得：，,‎ 则所求事件的概率为：,‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键.‎ ‎10．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】A ‎【解析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.‎ ‎11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72 B．120 C．144 D．168‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，‎ 有(种)；‎ 第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；‎ 根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.‎ 故选B.‎ ‎【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.‎ ‎12．已知，且，.若关于的方程有三个不等的实数根，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出，可得，若关于的方程有三个不等的实数根，，，令，即 ‎，易知此方程最多有两根，所以，，必有两个相等，画出的图像，可得，根据图像必有，可得，，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得，设，‎ 可得：，可得，由，可得，，‎ 可得，‎ 若关于的方程有三个不等的实数根，，，‎ 令，且，， ‎ 则有，易知此方程最多有两根，所以，，必有两个相等，‎ 由，易得在上单调递增，此时；‎ 在，此时，其大致图像如图所示，‎ 可得，根据图像必有，‎ 又为的两根，即为的两根 即又，故，，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查微分方程，函数模型的实际应用及导数研究函数的性质等，综合性大，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．若随机变量，且，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由随机变量，且，可得的值，计算出,可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由随机变量，且，可得，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，熟悉二项分布的期望和方差的性质是解题的关键.‎ ‎14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n的值.‎ ‎【详解】‎ 解：观察所给式子的规律可得：‎ ‎，，，‎ 故可得：.‎ 故答案为：24.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.‎ ‎15．设，则 _______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先令可求出的值，然后利用可得出，然后将两式相减可得出代数式的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令可得，‎ 令可得，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项展开式项的系数和，一般利用赋值法来求解，赋值如下：‎ 设，则 ‎（1）；（2）；（3）.‎ ‎16．设直线与曲线：的三个交点分别，，，其中.则实数的取值范围是______；的值为______.‎ ‎【答案】 8 ‎ ‎【解析】对求导，求出其单调区间及极值，画出函数图像，数形结合可得实数 的取值范围，令，由一元三次方程根与系数的关系可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：令，可得，‎ 令，可得或，‎ 当或时，，当时候，，‎ 可得在与上单调递增，在上单调递减，‎ 当时，由极大值，当，由极小值 作出的图像如图：‎ 由直线与曲线：的三个交点分别，，，‎ 可得，‎ 设，则是方程的三个根，‎ 由根与系数的关系可得：，，，‎ 故，‎ 故答案为：；8.‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道直线与曲线的综合题目，考查了利用导数判断函数的单调性、一元三次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想.‎ 三、解答题 ‎17．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：‎ ‎（1）计算，的值；‎ ‎（2）若规定考试成绩在为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；‎ ‎（3）若规定考试成绩在内为优秀，由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异 ‎【解析】（1）由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得，的值；‎ ‎（2）计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；‎ ‎（3）补全列联表，计算出的值，对照临界表可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，‎ 甲校抽取人，则，‎ 乙校抽取人，则.‎ ‎（2）由题意知，乙校优秀率为.‎ ‎（3）填表如下表（1）.‎ 甲校 乙校 总计 优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优秀 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 总计 ‎55‎ ‎50‎ ‎105‎ 根据题意，‎ 由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准确.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）若恒成立，试求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数的图像在点处的切线为直线，试求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由恒成立，分离参数可得恒成立，设，对其求导，可得的最大值，可得的取值范围；‎ ‎（2）求出，对其求导，可得切在的切线方程，又切线方程为，可得与的方程组，可得，设，对其求导可得的单调性与最小值，可得的值唯一，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得：定义域为 ‎，恒成立.‎ 设，则，‎ 时，，函数单调递增，‎ 时，，函数单调递减，‎ 函数，所以.‎ ‎（2），.‎ 因为切点为，则切线方程为，‎ 整理得：，又切线方程为，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 因为在单调递增，且，所以在单调递减，单调递增，所以，‎ 所以，所以的值唯一，为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值及利用导数求切线等问题，关键是能够利用导数的几何意义确定曲线的切线方程，从而构造方程求得结果.综合性大，属于难题.‎ ‎19．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：‎ ‎（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；‎ ‎（3）已知样本数据中期望补贴数额在范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：若，则，，.‎ ‎【答案】（1）约为百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，‎ ‎【解析】（1）样本的中位数为，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；‎ ‎（2）由近似地认为员工的加班补贴服从正态分布，可得，由正态分布计算对照题中所给数据可得答案.‎ ‎（3）由题意，的可能取值为，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设样本的中位数为，则，解得，所以所得样本的中位数约为百元.‎ ‎（2），由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为 ‎，‎ ‎，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.‎ ‎（3）由题意，的可能取值为.‎ 又因为， ，‎ ‎， ，‎ 的分布列为 ‎.(或者答：服从的超几何分布，则）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.‎ ‎20．若数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析 ‎【解析】（1）由已知条件分别取，能依次求出，，的值；‎ ‎（2）猜想.证明当是否成立，假设时，猜想成立，即：，证明当也成立，可得证明 ‎【详解】‎ 解：（1）由题意：，，‎ 当时，可得，可得 同理当时：，可得 当时：，可得 ‎（2）猜想.‎ 证明如下：‎ ‎①时，符合猜想，所以时，猜想成立. ‎ ‎②假设时，猜想成立，即：.‎ ‎（），‎ ‎，两式作差有：，‎ 又，所以对恒成立. ‎ 则时，，‎ 所以时，猜想成立.‎ 综合①②可知，对恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推式及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21．已知，函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，且在时有极大值点，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）对求导，分，，，进行讨论，可得函数的单调性；‎ ‎（2）将代入，对求导，可得，再对求导，可得函数有唯一极大值点，且.‎ 可得,设，对其求导后可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 又，，时，，所以可解得：函数在单调递增，在单调递减；‎ 经计算可得，时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；‎ 时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；‎ 时，函数在单调递减.‎ 综上：时，函数在单调递增，单调递减；‎ 时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；‎ 时，函数在单调递减；‎ 时，函数在单调递减，单调递增，单调递减. ‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 当时，单调递减，即单调递减，‎ 当时，单调递增，即单调递增. ‎ 又因为由可知：，‎ 而，且，‎ ‎，使得，且时，单调递增，‎ 时，单调递减，时，单调递增， ‎ 所以函数有唯一极大值点，‎ 且.‎ ‎.‎ 所以,‎ 设（），则，‎ 在单调递增，，，又因为，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论证能力与运算求解能力.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．‎ ‎（1）求直线l及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去直线l参数方程中的t，得，‎ 由，得直线l的极坐标方程为，‎ 故．‎ 由点Q在OP的延长线上，且，得，‎ 设，则，‎ 由点P是曲线上的动点，可得，即，‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，恒成立，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）转化条件得 ‎，根据恒成立问题的解决方法即可得解；‎ ‎（Ⅱ）转化条件得对恒成立，根据的取值范围分类讨论去绝对值即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ 当且仅当时等号成立，.‎ ‎（Ⅱ）时， 恒成立，‎ 对恒成立.‎ 当时，，解得：， ‎ 当时，，解得：， ‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决方法和分类讨论思想，属于中档题.‎