数学文卷·2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）考试（2018

数学文卷·2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）考试（2018

厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设时虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．‎ ‎ ‎ A．B．C．D．‎ ‎ ‎ ‎(第3题图) (第4题图)‎ ‎5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 （ ）‎ A．1B．-1C．D．‎ ‎7．设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为 ，则（ ）‎ A. B. C. D. 与1大小不确定 ‎8．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ A. B.C. D. ‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. -‎ ‎10.已知函数，且，则等于（ ）‎ A.－2013B．－2014C．2013D．2014‎ ‎ ‎ ‎11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎12．若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A.B. C.D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，，且，则__________．‎ ‎14．已知实数， 满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”‎ 丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．‎ ‎ ‎ ‎16．已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为__________‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知， 为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）如图（1），五边形中，，，，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面.‎ ‎（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起 “少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．‎ 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：‎ 人数 次数 年龄 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60]‎ ‎18岁至31岁 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎140‎ ‎150‎ ‎32岁至44岁 ‎12‎ ‎28‎ ‎20‎ ‎140‎ ‎60‎ ‎150‎ ‎45岁至59岁 ‎25‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎225‎ ‎450‎ ‎60岁及以上 ‎25‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎ ‎ 联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．‎ 用样本估计总体的思想，解决如下问题：‎ ‎（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；‎ ‎（2）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？‎ 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设点， 在抛物线上，直线， 分别与轴交于点， ， .求证:直线的斜率为定值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）设函数（为常数），为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求使得成立的最小正整数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为．‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）点是圆上任一点，求面积的最小值．‎ ‎ ‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分)‎ 已知函数，‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ 厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试 数学（文科）试题参考答案 一.选择题 ‎1---12 DACCA CBACD BB 二.填空题 ‎13.14．615．C16．‎ ‎【选择填空解析】‎ ‎1．D ‎【解析】所以 ‎2．A ‎【解析】，.‎ ‎3．C ‎4．C ‎【解析】‎ 几何体是半个圆柱，底面是半径为1的半圆，高为2，故几何体的表面积是,‎ ‎5．A ‎【解析】函数的定义域和值域均为,函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为不满足要求；函数的定义域和值域均为满足要求，‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，圆的圆心坐标，所以弦长，得 ‎.所以，解得 ‎7．B ‎【解析】在椭圆中，，∴，‎ 在双曲线中，，∴，‎ ‎∴‎ ‎8．A ‎【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为 ‎9．C ‎【解析】=,‎ ‎10.D ‎【解析】当为奇数时,‎ 当为偶数时，‎ 所以 ‎11．B ‎【解析】如图，点在以为邻边的正方形内部，正方形面积为1，能构成钝角三角形的三边，则，如图弓形内部，面积为，由题意，解得 ‎ ‎ ‎12.B ‎【解析】设，由题设原不等式有唯一整数解，即在直线下方，递减，在递增，故，恒过定点，结合图象得：，即 ‎ ‎ ‎13.‎ ‎【解析】由题意可知：解得 ‎14．6‎ ‎【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点处取得最大值 .‎ ‎ ‎ ‎15．C ‎【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．‎ ‎16．‎ ‎【解析】设，在中，由余弦定理可得， .‎ 在中，由余弦定理可得， ，即有，‎ 又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时， ，解得.故的最大值为.‎ 三.解答题 ‎17. 解：（1）由， 为整数知，等差数列的公差为整数．‎ 又，故…………………………………………………………2分 ‎ ‎ 于是，解得，…………………………………4分 ‎ ‎ 因此，故数列的通项公式为．………………………………6分 ‎（2），………………………………8分 ‎ ‎ 于是 ‎……………………………………………………12分 ‎18. （1）证明：取的中点，连接，则，‎ 又，所以，…………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，…………………………3分 又因为面 所以平面 …………………………………………………………5分 ‎ ‎ ‎（2）又平面，∴平面，‎ ‎∴平面平面PCD；‎ 取的中点，连接，‎ 因为平面，‎ ‎∴.‎ 由即及为的中点，可得为等边三角形，‎ ‎∴，又，∴，∴，‎ ‎∴平面平面，……………………………………………7分 ‎∴平面平面.‎ 所以………………………………………………9分 所以.‎ ‎，∴为直线与所成的角，‎ 由（1）可得，∴，∴，‎ 由，可知，‎ 则.…………………………………………………………12分 ‎19．解（1）， 4分 ‎ （2）根据题意，得出如下列联表 骑行爱好者 非骑行爱好者 总计 青年人 ‎700‎ ‎100‎ ‎800‎ 非青年人 ‎800‎ ‎200‎ ‎1000‎ 总计 ‎300‎ ‎1500‎ ‎1800‎ ‎ 8分 根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关． ………………………………………………………………12分 ‎20．解：（1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．…………………………………………4分 ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ，所以 直线与的倾斜角互补，所以 ．………6分 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，‎ 将其代入抛物线的方程，整理得．‎ 设，则 ，，‎ 所以．………………………………………………………………8分 以替换点坐标中的，得．………………………………10分 所以 ．所以直线的斜率为．…………………12分 ‎21.解：（1）由可知，‎ 当时，，由，解得；………………………………2分 当时，，由，解得或；…………………3分 当时，，由，解得或；………………………4分 ‎（2）当时，要使恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数的上单调递增．………………6分 又因为时，，且，‎ 所以，存在唯一的，使得，‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增．‎ 所以，当时，取到最小值．………………………………………………9分 ‎，‎ 因为，所以，…………………………………11分 从而使得恒成立的最小正整数的值为1．…………………12分 ‎22．解： （1）由消去参数t，得，‎ 所以圆C的普通方程为．……………………………………2分 由，得，换成直角坐标系为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为……………………………5分 ‎（2）化为直角坐标为在直线l上，‎ 并且，设P点的坐标为，‎ 则P点到直线l的距离为，…8分 ‎，所经面积的最小值是……………………10分 ‎23.解：试题解析：（Ⅰ）由得 ‎. ……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵的值域为，∴对任意的，都有，使得成立，…………………………………………………………7分 ‎∵≥‎ 所以实数的取值范围是.…………………………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎