2020年高中数学第一章常用逻辑用语1
1.4 全称量词与存在量词
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，“∃”改为“∀”，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.
答案：A
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：Δ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
答案：A
3．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．∀x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．∃x0∈Z，使1<4x0<3
解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得
0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x≤x0；④∃x0∈N＋，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
4
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案：C
5．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．若命题p：∃x∈R，x2－2x－1>0，则命题綈p：∀x∈R，x2－2x－1<0
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
解析：选项A，否命题为“若x2≠1，则x≠1”；选项B，命题綈p：“∀x∈R，x2－2x－1≤0”；选项D，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故选C.
答案：C
6．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0”的否定为________．
答案：∀x∈R，sin x≤cos x
7．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．
解析：由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.
答案：(－∞，3]
8．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：原命题等价于tan x≤m在区间[0，]上恒成立，即y＝tan x在[0，]上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在[0，]上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解析：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
4
解析：法一 由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：p：2x2＋2x＋＝2＝22≥0，
∴p为假命题，綈p为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin ，
∴x0＝π时成立．
故而q为真，而綈q为假命题．
答案：D
4
3．若命题∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则a的取值范围是________．
解析：只需(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需
解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知命题p：对∀x∈R，∃m0∈R，使4x＋2xm0＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m0的取值范围是________．
解析：由题意m0＝－≤－＝－2(x∈R)．
答案：(－∞，－2]
5．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解析：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2.
所以命题q：a≥1或a≤－2.
由得a＝1或a≤－2，
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
6．q：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．
解析：綈q：已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上不存在一个实数c，使得f(c)>0，即∀c∈[－1,1]，f(c)≤0，
∴即
∴即p≤－3或p≥.
故q为真时的p的取值范围是－3
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