黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试 高二文科数学试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.命题 ，则 是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据全称命题的否定是特称命题可得结果.‎ ‎【详解】由全称命题的否定是特称命题可得：命题的否定是,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定，对于含有量词的命题的否定，只需改量词，否结论即可，是基础题．‎ ‎2.抛物线的准线方程是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及的值，由抛物线的准线方程分析可得答案。‎ ‎【详解】解：根据题意，抛物线的方程为：，则其标准方程为：，‎ 其焦点在y轴正半轴上，且，则其准线方程为：；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线变形为标准方程．‎ ‎3.“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.‎ ‎【详解】当时，，可知充分条件成立 当时，，可知必要条件不成立 ‎“”是“”的充分不必要条件 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时,; 当双曲线的焦点在轴上时,,结合可解得.‎ ‎【详解】当双曲线的焦点在轴上时,,又,即,‎ 所以,所求双曲线的方程为:;‎ 当双曲线的焦点在轴上时,,又,即,‎ 所以,所以所求双曲线的方程为:.‎ 所以所求双曲线方程为: 或.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线方程,属于基础题.‎ ‎5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：‎ ‎①，，， ②，‎ ‎③，， ④，‎ 其中正确命题的个数有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎①，，，，则与可能相交，①错；②，，则可能在平面内，②错；③，，，则与可能异面，③错；④，，则与可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎6.已知，则动点的轨迹是（　）‎ A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得动点的轨迹.‎ ‎【详解】因为，故动点的轨迹是一条射线，‎ 其方程为：，故选A.‎ ‎【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中.‎ ‎7.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，则或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 为等边三角形可以其大小．‎ ‎【详解】如图，连接，‎ 因为，所以异面直线与所成的角为或其补角.‎ 因为为等边三角形，所以.故选C.‎ ‎【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎8.过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入椭圆方程求得的坐标，进而根据，推断出，整理得，解得即可．‎ ‎【详解】已知椭圆的方程，由题意得把代入椭圆方程，‎ 解得的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣），∵，∴，‎ 即．∴，∴＝或＝﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．‎ ‎9.如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则必有（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 平面平面 D. 平面平面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据长方体的性质、平行线的性质、三角形中位线定理、面面平行的判定定理，对四个选项逐一判断，最后选出正确的答案.‎ ‎【详解】选项A:由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故A选项是错误的；‎ 选项B: 由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故B选项是错误；‎ 选项C: 由中位线定理可知：，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，故平面与平面相交，故C选项是错误的；‎ 选项D:由三角形中位线定理可知：，所以有平面，平面而，因此平面平面，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了面面平行判定定理、线线平行的性质、三角形中位线定理，考查了推理论证能力.‎ ‎10.已知直线：与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可知直线恒过定点，过分别作准线的垂线，由，得到点为的中点、连接，进而可知，由此求得点的横坐标，则点的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．‎ ‎【详解】解：抛物线的准线，直线：恒过定点， 如图过分别作准线的垂线，垂足分别为； ‎ 由，则，‎ 所以点为的中点、连接， 则， ∴在中，，‎ 为等腰三角形，点的横坐标为， 故点的坐标为， 又， 所以 ‎， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．‎ ‎11.如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（ ）‎ A. 互相平行 B. 异面且互相垂直 C. 异面且夹角为 D. 相交且夹角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.‎ ‎【详解】‎ 将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ‎，，则C的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.‎ ‎【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．‎ 所求椭圆方程为，故选B．‎ 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为 ‎，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．‎ 二、填空题（共计20分）‎ ‎13.已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.‎ ‎【详解】点代入抛物线方程得：‎ ‎，解得：；‎ 抛物线方程为：，准线方程为：，‎ 点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：‎ 故答案为：2,2‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.‎ ‎14.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .‎ ‎【答案】17.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程 ‎，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.‎ 考点：双曲线的定义.‎ ‎15.如图所示， 四棱锥中， 底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： __________时，平面.‎ ‎【答案】是中点 ‎【解析】‎ 点E的位置是棱SA的中点． 证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC，‎ ‎ 设AC与BD的交点为O，连接EO． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线． ∴OE∥SC． ∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD， ∴SC∥平面EBD． 故答案为是中点 ‎16.给出以下命题， ‎ ‎①命题“若，则或”为真命题；‎ ‎②命题“若，则”的否命题为真命题；‎ ‎③若平面上不共线的三个点到平面距离相等，则 ‎④若，是两个不重合的平面，直线，命题，命题，则是的必要不充分条件；‎ ‎⑤平面过正方体的三个顶点，且与底面的交线为，则∥；‎ 其中，真命题的序号是______‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①利用逆否命题来判断；‎ ‎②利用逆命题来判断；‎ ‎③根据点在面的同侧和异侧来判断；‎ ‎④根据面面平行的判定和性质来判断；‎ ‎⑤根据面面平行的性质定理来判断.‎ ‎【详解】解：①命题“若，则或”的逆否命题为：“若且，则”，其逆否命题为真命题，故原命题也为真，①是真命题；‎ ‎②命题“若，则”的逆命题为：“若，则” ，其逆命题为假命题，因为还有可能等于0，故否命题也为假，②是假命题；‎ ‎③若平面上不共线的三个点到平面距离相等，这三个点中若两个点在平面的一侧，另一个点在平面的另一侧，就没有，③是假命题；‎ ‎④命题是的不充分条件，因为要面面平行，需要两条相交直线与面平行，一条是不够的；命题是的必要条件，因为面面平行，其中一个面上的任何一条线都和另一个面平行，④是真命题；‎ ‎⑤如图：‎ 面面，面，面 ‎，又，‎ ‎∥.‎ ‎⑤是真命题.‎ 故答案为：①④⑤‎ ‎【点睛】本题考查了互为逆否命题同真同假以及线面，面面平行的判定和性质，是基础题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．‎ 若是真命题，求m取值范围；‎ 若是真命题，是假命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出命题为真命题的等价条件，结合是真命题，则同时为真命题，进行计算即可．‎ ‎（2）若是真命题，是假命题，则一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可．‎ ‎【详解】解：方程表示椭圆；‎ 则，则，‎ 得，得或，即p：或；‎ 双曲线的离心率．‎ 则，，，‎ 得，‎ 则，即，则q：，‎ 若是真命题，则，都是真命题，则，‎ 得．‎ 若是真命题，是假命题，‎ 则，一个为真命题，一个为假命题，‎ 若真假，则，得，‎ 若假真，则，此时，‎ 综上：或．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18.如图，在三棱锥中，分别为的中点，且为等腰直角三角形，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中点得线线平行，根据线面平行的判定可得平面；‎ ‎（2）将异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，即可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）分别为的中点，‎ ‎，‎ 平面平面，‎ 平面；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 异面直线与所成的角为，‎ ‎，‎ 异面直线与所成的角为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定以及求异面直线所成的角，是基础题.‎ ‎19.如图，在正方体中，分别是的中点．求证：‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，从而，进而可得平面；‎ ‎（2）设出正方体的棱长，利用向量的加法和数量积求出，根据向量的夹角公式可求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）设正方体的棱长为2，异面直线与所成角为，‎ 则，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，以及异面直线所成的角，利用向量的夹角公式，可方便求出异面直线所成的角，不用建系，不用作图.‎ ‎20.如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面； ‎ ‎（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．‎ ‎【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，‎ ‎∵四边形为平行四边形，∴为中点，‎ 又是的中点，∴是三角形的中位线，则，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）∵为线段的中点，点是的中点，‎ ‎∴且，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，，且平面，平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．‎ ‎21.已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，证明：以为直径的圆过原点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的性质，即可求得的值，求得抛物线方程； （2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可，由，即可求得，利用向量的坐标运算，即可求得,进而可得到结果．‎ ‎【详解】解：（1）由抛物线的准线方程为，‎ 则，则， ∴抛物线方程为； （2）证明：设，‎ 由，消去整理得， ，‎ 由，两式相乘，得， 注意到异号，所以， 则 ‎，‎ ‎，‎ 所以以为直径的圆过原点．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为 ‎，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由题意可得，运用直线的斜率公式，化简即可得到点的轨迹曲线； （2）设，由题意知的斜率一定不为0，设，代入椭圆方程整理得关于的二次方程，假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，利用韦达定理可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程即可求出，由此可求出点的坐标，发现矛盾，故不存在．‎ ‎【详解】解：（1）设，有，‎ 得，‎ 整理得，‎ ‎∴曲线的方程为；‎ ‎（2）假设存在符合条件的点，由题意知直线的斜率不为零，‎ 设直线的方程为 由，得：‎ 则 由四边形为平行四边形，‎ 得 点坐标代入方程得：，‎ 解得 ‎∴此时，但，‎ 所以不存在点使得四边形为平行四边形.‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎