2018-2019学年江西省临川第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省临川第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省临川第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．为创建文明城市，共建美好家园，某市教育局拟从3000名小学生，2500名初中生和1500名高中生中抽取700人参与“城市文明知识”问卷调查活动，应采用的最佳抽样方法是（ ）‎ A．简单随机抽样法 B．分层抽样法 C．系统抽样法 D．简单随机抽样法或系统抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据总体明显分层的特点采用分层抽样.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，所有学生明显分成互不交叉的三层，即小学生，初中生，高中生，故采用分层抽样法.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的概念，属基础题.‎ ‎2．甲乙两名同学在班级演讲比赛中，得分情况如茎叶图所示，则甲乙两人得分的中位数之和为（ ）‎ A．176 B．174 C．14 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图中的数据，计算甲、乙得分的中位数即可.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知，甲的得分情况为76，77，88，90，94, 甲的中位数为88；‎ 乙的得分情况为75，86，88，88，93，乙的中位数为88；‎ 故甲乙两人得分的中位数之和为88+88=176.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图表示的数据的中位数的计算，注意先把数据按从小到大（或从大到小）先排序即可.‎ ‎3．下列说法中正确的是（ ）‎ A．若事件与事件互斥，则 B．若事件与事件满足，则事件与事件为对立事件 C．“事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件 D．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，由互斥的定义判断即可，对B选项，利用几何概型判断即可，对C由互斥事件和对立事件的概念可判断结论,对D由对立事件定义判断，所以错误.‎ ‎【详解】‎ 对A，基本事件可能的有C,D…，故事件与事件互斥，但不一定有 对B,由几何概型知，则事件与事件不一定为对立事件，；‎ 对C,由对立，互斥的定义知，对立一定互斥，但互斥不一定对立，故C正确，‎ 对D, “至少有一次中靶”的对立事件为“两次都不中”，故D错误；‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的基本概念，属基础题，选项B易忽略几何概型的情况.‎ ‎4．设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题乙由点P的轨迹是以，为焦点的双曲线可得到动点P到两定点的距离的差的绝对值等于定值，即命题乙推得命题甲;再根据||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点P的轨迹是双曲线或射线，即命题甲不一定推出乙，从而可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 命题甲：||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点M的轨迹是双曲线或以为端点的射线 ，不一定推出命题乙，故不充分 命题乙：点p的轨迹是双曲线，则可得到P到两定点的距离的差的绝对值等于一常数，即可推出命题甲，故必要；‎ ‎∴命题甲是命题乙的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，若||PF1|﹣|PF2||是定值，则动点P的轨迹：若||PF1|﹣|PF2||>,P的轨迹为双曲线；||PF1|﹣|PF2||=,P的轨迹为两条射线.‎ ‎5．已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知2a= ,设点A(c,)，代入椭圆方程解得 = ，得AB=2== ,解得a,b即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知2a=，得a=，设A(c,),代入椭圆，即 ，解得 ， ，得b=2,所以椭圆的方程为 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，过焦点且垂直于轴的焦点弦长为 .‎ ‎6．已知，，是空间向量的一组基底，，，是空间向量的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为，则向量在基底，，下的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量在基底，{，，}下的坐标为（x，y，z），则423x（）+y（）+z，由此能求出向量在基底{，，}下的坐标．‎ ‎【详解】‎ 设向量在基底，{，，}下的坐标为（x，y，z），‎ 则423x（）+y（）+z，‎ 整理得：423（x+y）（x﹣y）z，‎ ‎∴，解得x＝3，y＝1，z＝3，‎ ‎∴向量在基底{，，}下的坐标是（3，1，3）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，充分利用空间向量基本定理构造x,y,z的方程组是关键.‎ ‎7．执行如题图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ‎ 条件成立，运行第一次， ‎ 条件成立，运行第二次， ‎ 条件成立，运行第三次， ‎ 条件不成立，输出 由此可知判断框内可填入的条件是： ‎ 故选C.‎ 考点：循环结构.‎ 视频 ‎8．已知三棱锥，在该三棱锥内取一点，使的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取高线的三等分点，过该点作平行于底的平面，若VP﹣ABCVS﹣ABC，则P点在平面EFG与底面ABC之间，所以概率为棱台与原棱锥体积之比，用相似比计算即可．‎ ‎【详解】‎ 作出S在底面△ABC的射影为O，‎ 若VP﹣ABCVS﹣ABC，则高OPSO，‎ 即此时P在三棱锥VS﹣ABC的面DEF上，‎ 则VP﹣ABCVS﹣ABC的点P位于在三棱锥VS﹣ABC的面DEF以下的棱台内，‎ 则对应的概率P＝1﹣（）3，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的体积关系是解决本题的关键，根据比例关系，得到面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方．‎ ‎9．如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF 面ACD, 为直线与平面 所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题知AB面BCD, ABCD,又BC=BD，点是的中点， BECD,‎ 且BE= 又，CD面ABE, ‎ 过B作BF于E，则CDBF,又AECD=E, BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.‎ ‎ ,解得BA=4 , ,利用 等面积知 .‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF 面ACD是关键.‎ ‎10．已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．‎ ‎【详解】‎ 由题意画图如下 可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，‎ 那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，‎ 所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），‎ 又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，‎ 所以点P的轨迹方程为（x＞1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与标准方程，属于中档题．‎ ‎11．如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点在线段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是建立空间直角坐标系，将题设中的异面直线所成角这一条件翻译出来，因为这是求解线段长度范围的先决条件与前提，也是解答本题是突破口。求解由于变量较多，因此运用消元思想和整体代换的数学思想，使得问题的求解有章可循，进而获得答案，本题对计算能力要求较高，具有一定的难度。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为，则实数的值为（ ）‎ ‎196‎ ‎107‎ ‎200‎ ‎203‎ ‎204‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ A．8.5 B．8.4 C．8.2 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，选D.‎ 考点：线性回归方程 ‎13．写出命题“若，则，，不成等比数列”的逆否命题:__________．‎ ‎【答案】若成等比数列，则 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出即可．‎ ‎【详解】‎ 命题“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列” 的逆否命题是“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”．‎ 故答案为若成等比数列，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与它的逆否命题的关系，解题时根据命题与它的逆否命题的关系可以直接写出结论，四种命题及其关系要熟练掌握.‎ ‎14．执行如图语句，若输入的，则输出的的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，当x＝1时不满足条件x＜0，计算并输出y的值为-2．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行程序框图，可得x＝1，不满足条件x＜0，执行y=x-3=-2,即输出-2 ，‎ 故答案为-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图的应用，是基础题.‎ ‎15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，以为起点，再从，，，四个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为，则事件“”的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过列举法，列出所有满足条件的基本向量，计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ 底面, ， ‎ 以为起点，再从，，，四个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件为： 共6个，‎ 事件“”的基本事件为：共4个，‎ 则事件“”的概率为 .‎ 故答案为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，空间直线的位置关系，找准线线垂直是关键.‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得．由焦半径公式|AF|＝x1+1＝|NF|，||BF|＝x2+1＝|MF|，18，（y1+y2）2＝20y1y2，再利用韦达定理，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得．‎ 由焦半径公式|AF|＝x1+1＝|NF|，|BF|＝x2+1＝|MF|，‎ ‎∴18，∴（y1+y2）2＝20y1y2，‎ 由，可得ky2﹣4y+4k＝0，‎ ‎∴y1+y2，y1y2＝4，∴80，‎ ‎∵k＞0，∴k．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用,由题判断A，B，P三点共线，可得，结合焦半径公式的运用是关键.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．我国西部某贫困地区2011年至2017年农村居民家庭人均年收入（千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均年收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均年收入将达到多少千元.‎ 附：线性回归方程中，，.‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（1）； （2）预测该地区在2019年农村居民家庭人均纯收入为千元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出求出b 经过回归直线，再求出a即可；‎ ‎（2）令x=9 代入回归直线方程求得 ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，‎ 从而，，‎ 故所求线性回归方程为.‎ ‎（2）令，得.‎ 预测该地区在2019年农村居民家庭人均纯收入为千元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线求法，注意样本中心点 经过回归直线.‎ ‎18．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题得命题由命题为真，得为真命题或为真命题，列m的不等式求解即可；‎ ‎（2）由命题为真，为假判断均为真命题或均为假命题，分情况列出m的不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎（1）由于为真命题，故为真命题或为真命题，从而有或，即 ‎.‎ ‎（2）由于为真命题，为假命题，所以均为真命题或均为假命题，从而有或，解得 即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假，注意命题p焦点在y轴上审题要注意，对于命题p,q的真假判断要准确.‎ ‎19．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，线段的长度为8，且的中点到轴的距离为3.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线与直线交于，两点，判断坐标原点是否在以为直径的圆上，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用焦点弦长公式得的中点到轴的距离（2）联立方程组消去并化简得：即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依条件有，故，抛物线.‎ ‎（2）设，联立方程组消去并化简得：‎ ‎，‎ ‎，从而.‎ 所以坐标原点在以为直径的圆上 ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理应用，注意点在圆上经常转化为向量数量积为0.‎ ‎20．某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，.‎ ‎（1）估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数（结果保留到小数点后一位）；‎ ‎（2）从评分在的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在内的概率.‎ ‎【答案】（1）该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图，知,求出a,设中位数为（2）受访教职工评分在内的人数为（人），受访教职工评分在内的人数为（人）.‎ 设受访教职工评分在内的两人分别为，在内的三人为 ‎，利用列举法能求出从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，至少有一人评分在[50，60）的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图，可知，‎ 解得.‎ 设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为，有：‎ ‎，解得： （分）‎ 故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为 ‎（2）由频率分布直方图可知，受访教职工评分在内的人数为（人），受访教职工评分在内的人数为（人）.‎ 设受访教职工评分在内的两人分别为，在内的三人为，则从评分在的受访教职工中随机抽取人，‎ 其基本事件有，，，，，，，，，，共10种，其中2人评分至少有一人在内的基本事件有9种，故2人评分至少有1人在内的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎21．如图（1），等腰中，，，以边上的中线为折痕，将沿折起，构成二面角，在平面内作，且，连，，，如图（2）所示.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）如果二面角为直二面角，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明进而证明，（2）‎ 为二面角的平面角，依条件，所以平面.‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系，计算平面平面 ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）‎ 为二面角的平面角，依条件，所以平面.‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系.‎ ‎，‎ ‎，设平面的法向量为 则，取，则，‎ 故平面的一个法向量为.‎ 又，设平面的法向量为，‎ 则，取，则，‎ 故平面的一个法向量.‎ ‎，‎ 根据图形知，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，空间向量求二面角，是基础题.‎ ‎22．已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，解方程可求c，b，进而可求椭圆方程, （2）设直线与的斜率都存在，分别设为，，，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得=，同理得进而化简.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意有，而，故，，‎ 从而椭圆：.‎ ‎（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则 由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得 设，则 从而.‎ 同理有，‎ 从而有 ‎ 从而为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理的应用，对（2）推得直线与的斜率的乘积为