2017-2018学年云南省峨山彝族自治县第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年云南省峨山彝族自治县第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题

峨山一中2017 —2018学年上学期中考试 高二年级（文科）数学试卷 ‎ ‎ ‎ (时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) ‎ ‎1．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　　)‎ A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}‎ ‎2 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )‎ ‎ A B C D ‎ ‎3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎4．函数f(x)＝的定义域是(　　)‎ A. B. C. D．(－∞，＋∞)‎ ‎5．把十进制数34化为二进制数为（　　）‎ A．101000 B．100100 C．100001 D．100010‎ ‎6．一个算法的程序框图如图，当输入的x的值为﹣2时，输出的y值为（　　）‎ ‎ ‎ ‎（第6题图） （第7题图）‎ A．﹣2 B．1 C．﹣5 D．3‎ ‎7．有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（　　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎8．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．‎ ‎（4）‎ ‎（3）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 ‎ C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ‎9．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．3‎ ‎10．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎11.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ ‎ A B C D ‎12.直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )‎ A．　 B．　 C． D． ‎ 二、填空题(每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．如图，在边长为1的正方形中任取一点P，分别以O、B为圆心，半径为画圆弧，点P在两圆之外的概率为 ．‎ ‎14．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工 ‎250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，‎ 用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．‎ ‎15．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．‎ ‎16.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为 . ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6个题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝.‎ ‎(1)求b的值； (2)求sin C的值．‎ ‎18．(本小题满分12分)已知函数（）的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值； （2）求的单调增区间.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．‎ 求证：(1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面PCD.‎ ‎ ‎ ‎20. (本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 ‎ 分组 频数 ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ 7‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎（Ⅰ）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ ‎21．（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程 , 其中＝－20.‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎22．（本小题满分12分）已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较Sn与1的大小．‎ 峨山一中2017 —2018学年上学期中考试（参考答案）‎ 高二年级（文科）数学试卷 ‎ ‎ ‎ (时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) ‎ ‎1．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(　C　)‎ A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}‎ ‎2 设,则下列不等式中恒成立的是 ( C )‎ ‎ A B C D ‎ ‎3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　C　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎4．函数f(x)＝的定义域是(　B　)‎ A. B. C. D．(－∞，＋∞)‎ ‎5．把十进制数34化为二进制数为（　D　）‎ A．101000 B．100100 C．100001 D．100010‎ ‎6．一个算法的程序框图如图，当输入的x的值为﹣2时，输出的y值为（C　　）‎ ‎ ‎ ‎（第6题图） （第7题图）‎ A．﹣2 B．1 C．﹣5 D．3‎ ‎7．有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（　A　）‎ A．18 B．36 C．54 D．72‎ ‎8．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( C )．‎ ‎（4）‎ ‎（3）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 ‎ C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ‎9．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　B　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．3‎ ‎10．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　A　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎11.等比数列的各项均为正数，且，则（B ）‎ ‎ A B C D ‎12.直线与圆没有公共点，则的取值范围是(D)‎ A．　 B．　 C． D． ‎ 二、填空题(每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．如图，在边长为1的正方形中任取一点P，分数以O、B为圆心，半径为画圆弧，点P在两圆之外的概率为 1- ．‎ ‎14．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工 ‎250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，‎ 用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为___15_____．‎ ‎15．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是___1.76_____米．‎ ‎16.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为 13 . ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6个题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝.‎ ‎(1)求b的值； (2)求sin C的值．‎ 解：(1)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，∴b＝.‎ ‎(2)∵cos B＝，∴sin B＝，‎ 由正弦定理＝，得＝，∴sin C＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知函数（）的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值； （2）求的单调增区间.‎ ‎18:（1） ‎ ‎ ‎ ‎ 由得。‎ ‎ （2）由（1）得，再由正弦函数的单调递增区间为得 ‎ 所以的单调增区间为 ‎19．(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．‎ 求证：(1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面PCD.‎ 证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，‎ ‎ ∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC. ‎ ‎∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.‎ ‎(2)∵PD⊥平面ABCDBC⊂平面ABCD ‎∴PD⊥BC∵ABCD为正方形∴BC⊥CD 又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD.‎ ‎20. (本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 ‎ 分组 频数 ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ 8‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ 7‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎（Ⅰ）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解法：（Ⅰ）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共个．其中，至少有家融合指数在内的基本事件是：，，，，，，，，，共个． 所以所求的概率．（6分）‎ ‎（Ⅱ）这家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于．（6分）‎ ‎21．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程，其中＝－20.‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎21．解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，‎ ＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.‎ 所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.‎ ‎(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)‎ ‎＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25.‎ 当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．‎ ‎22．(本小题满分12分)已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较Sn与1的大小．‎ ‎22．解：(1)∵对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且{an}，{bn}均为正项数列，‎ ‎∴an＝bnbn＋1.‎ 由a1＝3，a2＝6得 又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，‎ 解得b1＝，b2＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．‎ 故数列{bn}的通项公式为bn＝(n∈N＋)．‎ ‎(2)由(1)得对任意 n∈N＋，an＝bnbn＋1＝.从而有＝＝2，‎ 则Sn＝2＋＋…＋＝1－，故Sn<1.‎