2020届高考数学一轮复习（理·新人教A版）单元检测十计数原理A小题卷单元检测

2020届高考数学一轮复习（理·新人教A版）单元检测十计数原理A小题卷单元检测

单元检测十 计数原理(A)(小题卷) 考生注意： 1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上． 2．本次考试时间 45 分钟，满分 80 分． 3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．3 个单位从 4 名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘 1 人(4 名大学毕业生 不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为( ) A．60B．36C．24D．42 答案 A 解析 当 4 名大学毕业生都被聘上时，则有 C2 4A3 3＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当 4 名大 学毕业生有 3 名被选聘上时，则有 A3 4＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得 不同的选聘方法种数为 36＋24＝60，故选 A. 2．用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字，且大于 3000 的四位数，这样的四位数有( ) A．250 个 B．249 个 C．48 个 D．24 个 答案 C 解析 先考虑四位数的首位，当排数字 4,3 时，其他三个数位上可从剩余的 4 个数中任选 3 个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设 条件的四位数共有 A3 4＋A3 4＝2A3 4＝2×4×3×2＝48(个)，故选 C. 3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分， 平局双方各 1 分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出 现的最少的平局场数是( ) A．0B．1C．2D．3 答案 B 解析 四支队得分总和最多为 3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分 只可能有 6,3,0 三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场 数是 1，如四队得分为 7,6,3,1 时符合题意，故选 B. 4．某班上午有 5 节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各 1 节课，要求语文与化 学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A．16B．24C．8D．12 答案 A 解析 根据题意分 3 步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考 虑其顺序，有 A2 2＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有 A2 2＝2(种)情况，排好后，有 3 个空位；③数学课不排在第一节，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个安排物 理，有 2 种情况，则数学、物理的安排方法有 2×2＝4(种)，则不同排课法的种数是 2×2×4 ＝16，故选 A. 5．8 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)，规定两人对局胜者得 2 分，平局 各得 1 分，负者得 0 分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8 名选手的得分各不 相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是( ) A．14B．13C．12D．11 答案 C 解析 由题意可知 8 名选手所得分数从高到低为 14,12,10,8,6,4,2,0 时，满足第二名的得 分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是 12. 6．某电视台连续播放 6 个广告，其中有 3 个不同的商业广告，2 个不同的两会宣传片，1 个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2 个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是( ) A．48B．98C．108D．120 答案 C 解析 首选排列 3 个商业广告，有 A 3 3种结果，再在 3 个商业广告形成的 4 个空中排入另外 3 个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有 C1 3A 2 3种结果，故不同的播放方式的种数为 A3 3C1 3A2 3＝ 108. 7．C0 3＋C1 4＋C2 5＋C3 6＋…＋C 17 20的值为( ) A．C3 21B．C3 20C．C4 20D．C4 21 答案 D 解析 C0 3＋C1 4＋C2 5＋C3 6＋…＋C17 20＝C0 4＋C1 4＋C2 5＋C3 6＋…＋C17 20＝C1 5＋C2 5＋C3 6＋…＋C17 20＝C2 6＋C3 6＋… ＋C17 20＝…＝C17 21＝C4 21，故选 D. 8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若 a2＝270，则 a 等于( ) A．3B．2C．1D．－1 答案 A 解析 二项式(a－x)5 展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 5a5－k(－x)k，其中 T3＝C2 5a3(－x)2＝10a3x2， 所以 a2＝10a3＝270，解得 a＝3. 9．在(1＋x－x2)10 的展开式中，x3 的系数为( ) A．10B．30C．45D．210 答案 B 解析 (1＋x－x2)10 表示 10 个 1＋x－x2 相乘，x3 的组成可分为 3 个 x 或 1 个 x2,1 个 x 组成， 故展开式中 x3 的系数为 C3 10＋(－1)·C1 10·C1 9＝120－90＝30，故选 B. 10．某班班会准备从包含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙 2 人至少有 1 人参 加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为( ) A．720B．520C．600D．360 答案 C 解析 分两种情况讨论： 若甲、乙 2 人只有 1 人参加，有 C1 2C3 5A4 4＝480(种)情况；若甲、乙 2 人都参加且发言的顺序不 相邻，有 C2 2C2 5A2 2A2 3＝120(种)情况， 则不同发言顺序的种数为 480＋120＝600. 11．设集合 A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合 A 中满足条件“x2 1 ＋x2 2＋x2 3＋x2 4≤4”的元素个数为( ) A．60B．65C．80D．81 答案 D 解析 由题意可得 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4≤4 成立，需要分五种情况讨论：①当 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4＝0 时，只有 1 种情况，即 x1＝x2＝x3＝x4＝0；②当 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4＝1 时，即 x1＝±1，x2＝x3 ＝x4＝0，有 2C1 4＝8 种；③当 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4＝2 时，即 x1＝±1，x2＝±1，x3＝x4＝0，有 4C2 4 ＝24 种；④当 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4＝3 时，即 x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝0，有 8C3 4＝32 种； ⑤当 x2 1＋x2 2＋x2 3＋x2 4＝4 时，即 x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝±1，有 16 种，综合以上五 种情况，则总共有 81 种，故选 D. 12．已知关于 x 的等式 x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1) ＋b4，定义映射 f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则 f(4,3,2,1)等于( ) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0) C．(0，－3,4，－1) D．(－1,0,2，－2) 答案 C 解析 因为 x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋ a3[(x＋1)－1]＋a4，所以 f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋ 2[(x＋1)－1]＋1，所以 b1＝C1 4(－1)＋4C0 3＝0，b2＝C2 4(－1)2＋4C1 3(－1)＋3C0 2＝－3，b3＝C3 4(－ 1)3＋4C2 3(－1)2＋3C1 2(－1)＋2＝4，b4＝C4 4(－1)4＋4C3 3(－1)3＋3C2 2(－1)2＋2(－1)＋1＝－1， 故选 C. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．若 C2 nA2 2＝42，则 n！ 3！n－3！ ＝________. 答案 35 解析 由nn－1 2 ×2＝42，解得 n＝7，所以 n！ 3！n－3！ ＝ 7！ 3！4！ ＝35. 14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出 5 位相关专家对 3 个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣 1 位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一 地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答) 答案 36 解析 由题意可知，可分为两类，第一类：甲、乙在同一个地区时，剩余的 3 人分为 2 组， 将 3 组派遣到 3 个地区，共有 C2 3A3 3＝18(种)不同派遣方式；第二类：甲、乙和剩余的 3 人中 的 1 人在同一个地区，另外 2 人分别在两个地区，共有 C1 3A3 3＝18(种)不同的派遣方式．由分 类加法计数原理可得不同的派遣方式共有 18＋18＝36(种)． 15．在(x－2y)(2x＋y)5 的展开式中，x2y4 的系数为________． 答案 －70 解析 (2x＋y)5 的展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 5(2x)5－kyk，令 5－k＝1，得 k＝4，令 5－k＝2， 得 k＝3，所以(x－2y)(2x＋y)5 的展开式中，x2y4 的系数为 C4 5×2－2C3 5×22＝－70. 16．若(x－1)5－2x4＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋a4(x－2)4＋a5(x－2)5，则 a2＝ ________. 答案 －38 解析 令 x－2＝t，则 x＝t＋2.由条件可得(t＋1)5－2(t＋2)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋ a5t5，故 t2 的系数为 C3 5－2C2 4×22＝－38，即 a2＝－38.