福建省福清市2020届高三下学期3月“线上教学”质量检测 数学（文）

福建省福清市2020届高三下学期3月“线上教学”质量检测 数学（文）

福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学试卷 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）． 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． (1) 已知集合  2 6 0A x x x    ，   ln 1B x y x   ，则 A B  （A） 1 2x x  （B） 1 2x x  （C） 1 3x x  （D） 1 3x x  (2) 已知复数 z 满足  1 1 3z i i   ，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 已知圆    2 2 2: 1 0C x y r r    ，直线 :3 4 2 0l x y   ．若圆 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 (4) 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A） 3 （B） 1 （C）1 （D）3 (5) 甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个座 位．已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座． 如果丁坐在 B 座，那么可以确定的是： （A）甲坐在 A 座 （B）乙坐在 D 座 （C）丙坐在 C 座 (6) 如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A） 2 2 5 （B） 4 2 5 （C） 2 3 5 （D） 4 3 5 (7) 下列图象中，函数    sinx xf x e e x  ，  ,x    图象的是 （第 4 题图） （第 6 题图） （A） （B） （C） （D） (8) 已知 0, 2x     ， 0, 2y     ， cos sin 1 cos2 cos sin sin 2 x x y x x y   ，则 （A） 4y x   （B） 2 4y x   （C） 2y x   （D） 2 2y x   (9) 将函数   sin 3f x x      的图象横坐标变成原来的 1 2 （纵坐标不变），并向左平移 3  个单 位，所得函数记为  g x ．若 1 2, 0, 2x x     ， 1 2x x ，且    1 2g x g x ，则  1 2g x x  （A） 1 2  （B） 3 2  （C） 0 （D） 3 2 (10) 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， 1AC  平面 ．平面 截此正方体所得的截面 有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为 3 3 则正确结论的编号是 （A）①④ （B）①③ （C）②③ （D）②④ (11) 若函数   1 xf x k x    有两个零点，则 k 的取值范围是 （A）  0, （B）    0,1 1, （C）  0,1 （D）  1, (12) 已知抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F，与双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的一条渐近 线交于 P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q．若 PQ PF ，则双曲线 的渐近线方程为 （A） y x  （B） 2y x  （C） 3y x  （D） 2y x  第Ⅱ卷（非选择题共 70 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题 ~第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． (13) 已知 a a b    ，   a b a b      ，则 a  与 b  的夹角为 (14) 已知实数 ,x y 满足约束条件 3 0, 2 4 0, 2 0, x y x y x y           则 2x y 的最小值为 (15) 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今 有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别 为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆 内的概率是 (16) 设 △ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 3b  ，  2 cos 3cosa c B C  ， 则 △ ABC 面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) （本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向． （Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计 如下表: A B C D E 公务员 ○ ○ × ○ × 教师 ○ × ○ × ○ 金融 ○ ○ ○ × ○ 公司 × × ○ ○ ○ 自主创业 × ○ × ○ × 其中“○”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向． 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少 有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率． (18) （本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 2n na S  （Ⅰ）求 na ； （Ⅱ）若数列 nb 满足  * 1 4 n n n n ab n NS S    ，求 nb 的前 n 项和 nT ． (19) （本小题满分 12 分） 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 AB  侧面 1 1BB C C ， 2BC  ， 1 2AB BB  ， 1 4BCC   ， E 为 1BB 中点， （Ⅰ）求证： 1AC BC （Ⅱ）求 C 到平面 1AC E 的距离． (20) （本小题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的右焦点为 F，离心率 2 2e  ，过原点的直线（不与坐 标轴重合）与 C 交于 P，Q 两点，且 4PF QF  （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 P 作 PE  x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P． (21) （本小题满分 12 分） 已知函数   2lnf x x mx   m R 的最大值是 0， （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若   21 2f x x ax be     ，求 b a 的最小值． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 23 2 21 2 x t y t       (t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos 6sin    . （Ⅰ）求 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 C 与 l 交于点 M N， ，点 A 的坐标为  3,1 ，求 AM AN . (23) （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 1 1 ,f x x ax    （Ⅰ）当 2a  时,求不等式   1f x  的解集； （Ⅱ）当  1,2x 时,不等式   1f x x  恒成立,求实数 a 的取值范围. 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）C （2）A （3）A （4）B （5）C （6）B （7）D （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） 3  （14）4 （15） 3 20  （16） 3 3 4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想．满分 12 分． (Ⅰ) 由已知，数学与应用数学、 计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数 之比为 1:2:3,由于采取分层抽样的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人，································· 4 分 （Ⅱ）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有：            , , , , , , , , , , , ,A B A C A D A E B C B D        , , , , , , ,B E C D C E D E ，共 10 种···················································· 8 分 由统计表可知，事件 M 包含的结果有：             , , , , , , , , , , , ,A B B C B D B E A D C D D E， ， 共 7 种······························································································10 分 所以事件 M 发生的概率为   7 10P M  ····················································· 12 分 (18) 本小题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分． (Ⅰ)当 1n  时， 1 12 2a S  ，故 1 2a  ····················································· 1 分 由 2 2n na S  ……① 得  1 12 2 2n na S n    ②····································································· 3 分 ①-②得，  1 12 2 0n n n na a S S     ，即 12 2 0n n na a a   整理得  12 2n na a n  故 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，··········································· 5 分 所以 12 2 2n n na    ，·········································································6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，   12 1 2 2 21 2 n n nS     ············································· 7 分       11 2 1 4 2 2 1 1 2 1 2 12 2 2 2 2 1 2 1 n n n n nn n n nb            ···························10 分 故 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nT b b b                                  1 11 2 1n   ····················································································· 12 分 (19) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归 与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ)∵AB⊥侧面 1 1BB C C ，∴ 1AB BC ……①··········································· 1 分 ∵ 2BC  ， 1 2CC  ， 1 4BCC   ，∴ 2 2 1 1 1 12 cos 2BC BC CC BC CC BCC       ∵ 2 2 2 1 1BC BC CC  ，∴ 1BC BC ……②··············································· 3 分 由①②及 AB BC B ，故 1BC  平面 ABC ∵ AC  平面 ABC，∴ 1BC AC ···························································5 分 （Ⅱ）设 C 到平面 1AC E 的距离为 d 由 1 1C AC E A CC EV V  得， 1 1 1 1 3 3AC E CC ES d S AB    ……（*）···························· 7 分 ∵E 为 1BB 中点，∴ 1 1 1 1 1 2 2 12 2CC E BCC BS S      ································ 8 分 又 1 1 1 2BC B C  ，所以 1 1C E BB ， 1 1 1 12C E BB  ∵AB⊥侧面 1 1BB C C ，∴ 1AB C E 又 1AB BB B ，故 1C E  平面 1 1ABB A 又 AE  平面 1 1ABB A ，所以 1C E AE ∵ 2, 1,AB BE AB BE   ，∴ 5AE  故 1 1 1 5 2 2C EAS AE C E    ·····································································11 分 由（*）得 5 22 d  ，故 4 5 5d  ，即 C 到平面 1AC E 的距离为 4 5 5 ············· 12 分 (20) 本小题主要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等 基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、 化归与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ) 设 F 为椭圆的左焦点，由对称性可知， ,OP OQ OF OF  故顶点为 , , ,P F Q F 的四边形是平行四边形，··········································· 2 分 故 2 4a PF PF QF PF     ， 2a  又 2 2 ce a   ，故 2, 2c b  ···························································· 4 分 故所求椭圆方程为 2 2 14 2 x y  ································································5 分 （Ⅱ）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为  0y kx k  ，      1 1 1 1 1, , , , ,0P x kx Q x kx E x  则 1 1 1 0 1 2QE kxk kx x     故  1: 2QE kl y x x  ············································································· 7 分 与椭圆方程 2 2 14 2 x y  联立得，  2 2 2 2 2 1 12 2 8 0k x k x x k x     又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 2 1 2 2 2P M k xx x k    ，即 2 1 12 2 2M k xx xk   故   3 1 1 22 2M M k xky x x k     ····································································10 分 所以  1 12 , 2PQ x kx   ， 2 1 1 2 2 2 2,2 2 k x kxPM k k        所以 2 2 2 1 1 2 2 4 4 02 2 k x kxPQ PM k k         故 PQ PM  ，即 90MPQ   故以 QM 为直径的圆过点 P．································································12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合 思想等．满分 12 分． (Ⅰ)由已知得     21 2 12 0mxf x mx xx x      ··········································1 分 当 0m  时，   0f x  ，  f x 在  0, 上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； ······································································································· 2 分 当 0m  时，   0f x  解得 1 2x m   当 10 2x m    时，   0f x  ，当 1 2x m   时，   0f x  故  f x 在 10, 2m      上单调递增， 1 ,2m       上单调递减······················· 4 分 故   2 max 1 1 1ln 02 2 2f x f mm m m                    解得 1 2m e   ····················································································· 5 分 （Ⅱ）由已知条件得 ln x ax b  ……（*） 设   lng x x ax b   ，（*）等价于证明   0g x  则   1g x ax    ①当 0a  时，则   0g x  ，  g x 在  0, 上单调递增， 当 max 1, bx a      时，   ln 0g x x ax b ax b       故 0a < 不符合题意；··········································································7 分 ②当 0a  时，当 10 x a   时，   0g x  ，当 1x a  时，   0g x  故  g x 在 10, a      上单调递增， 1 ,a     上单调递减 故  g x 有最大值 1 1 1ln ln 1g a b a ba a a                  ······························· 9 分 所以   21 2f x x ax be     等价于 ln 1b a   ，因此 ln 1b a a a   设   ln 1ah a a   ，则  h a  2 ln a a 当 0 1a  时，   0h a  ，当 1a  时，   0h a  故  h a 在  0,1 上单调递减，在  1, 上单调递增 故  h a 在 1a  处取得最小值，即    1 1h a h   ， 1b a   ··························11 分 故当 1a  ， 1b   时，   21 2f x x ax be     成立， 综上 b a 的最小值为 1 ．······································································· 12 分 (22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分 10 分． (Ⅰ)曲线 C 的方程 4cos 6sin    ， ∴ 2 4 cos 6 sin      ， ∴ 2 2 4 6x y x y   ， 即C 的直角坐标方程为    2 22 3 13x y    ··········································4 分 （Ⅱ）设点 M N， 对应的参数分别为 1 2t t， . 把直线 23 2 21 2 x t y t       (t 为参数)代入 C 得， 2 2 2 21 2 132 2t t                  ， 整理得， 2 3 2 8 0t t   .  2 3 2 32 50 0      ， 1 2 3 2t t  ， 1 2 8t t   ，∴ 1 2t t， 为异号，·········· 8 分 又∵点  3,1A 在直线 l 上， ∴  2 1 2 1 2 1 2 1 24 50 5 2AM AN t t t t t t t t          .····················10 分 (23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归 与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 10 分． (Ⅰ)当 2a  时,   2 1 2 1 1f x x x     ， 当 1 2x „ 时,不等式    1 2 2 1 2 1f x x x      成立； 当 1 1 2 2x   时，      1 2 2 1 4 1f x x x x       ， 1 1 2 4x    ； 当 1 2x… 时,      2 1 2 1 2 1f x x x       不成立， 综上，不等式   1f x  的解集为 1 4x x      .············································· 5 分 （Ⅱ）当  1,2x 时，   1f x x  化为 2 1 1 1x ax x     , 3 2 1x ax    ， 2 3 1 3 2,x ax x      1 33 3ax x      ， 1 3y x   在  1,2 单调递减，故 5 22 y    ； 33y x   在 1,2 单调递增，故 30 2y  ， 所以 2 0a „ „ ， 所以 a 的取值范围是 2,0 .···································································10 分