数学（理）卷·2018届黑龙江省双鸭山市一中高二下学期期中考试（2017-05）

数学（理）卷·2018届黑龙江省双鸭山市一中高二下学期期中考试（2017-05）

高二下学期期中考试试题(理数) 一．选择题（60 分） 1．“因为四边形ABCD 是矩形，所四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是（ ） A．矩形都是四边形； B．四边形的对角线都相等； C．矩形都是对角线相等的四边形； D．对角线都相等的四边形是矩形 2．设随机变量 等可能取 1、2、3... 值，如果 ,则 值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定 3．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．设 则 a 的值等于 （ ） A． B． C． D． 5．已知 ， 的展开式按 a 的降幂排列，其中第 n 项与第 n+1 项相 等，那么正整数 n 等于 （ ） A．4 B．9 C．10 D．11 6．由直线 ，x=2，曲线 及 x 轴所围成图形的面积为（ ） A． B． C． D． 7 ． 设 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 时 ， ，且 ，则不等式 的解集为 A、 B、 C、 D、 8、甲乙两人下棋，和棋的概率是1 2，乙获胜的概率是1 3，则甲不输的概率是( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 9．某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙 不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．36 种 B．42 种 C．48 种 D．54 种 10．曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A． B． C． D． 11 ． 已 知 ， 是 的 导 函 数 ， 即 ， ，…， ， ，则 A． B． C． D． 12. 已 知 定 义 在 上 的 奇 函 数 在 上 递 减 ， 若 对 恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（20 分） 13．已知 x，Y 之间的数据如下表所示，则 Y 与 x 之间的线性回归直线一定过点________. x 1.08 1.12 1.19 1.28 Y 2.25 2.37 2.40 2.55 14．已知关于 x 的二项式 的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a 的值为 . 15.若随机变量 ，则 ________； 16.若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是__________． 三．解答题（70 分） 17、（10 分）已知函数 ． （1）求 的单调区间和极值； （2）求曲线在点 处的切线方程． 18、（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区 调查了 500 位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮 助的老 年人的比例？简单说明理由．附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19、（12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽 60 出名学生，将其物理成绩(均为整 数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下频率分布直方图．观察图形的 信息，回答下列问题： (1)估计这次考试的众数 与中位数 (结果保留一位小数)； (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分． 20．（本题满分 12 分）某校组织一次冬令营活动，有 8 名同学参加，其中有 5 名男同学，3 名女同学，为了活动的需要，要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务，记 其中有 X 名男同学．(1) 求去执行任务的同学中有男有女的概率；(2) 求 X 的分布列． 21 设函数 （I）求曲线 在点 处的切线方程； （II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围； 22. 已知函数 . （I）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围. 选择题 CCCDAD DDDBDC 一． 填空题 13. (1.167 5,2.392 5) 14.2 15. 16. 二． 解答题 17、【答案】（1）极大值为 ，极小值为 （2） 试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出 f′（x），求出方程 f′（x）=0 的根，根据二 次函数的图象求出 f′（x）＜0、f′（x）＞0 的解集，由导数与函数单调性关系求出 f（x）的单调区间 和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出 f′（0）：切线的斜率，由解析式求出 f（0）的 值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程 试题解析：（1） ， ， ． ①当 ，即 时； ②当 ，即 时． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 当 时， 有极大值，并且极大值为 当 时， 有极小值，并且极小值为 （2） ， ．[ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】 18、(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该 地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 70 500＝14%. . 4 分 (2)K2＝500×(40×270－30×160)2 70×300×200×430 ≈9.967， 因为 9.967>6.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否 需要帮助与性别有关．. 8 分 (3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮 助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老 年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老 年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法 比简单随机抽样方法更好．. 12 分 19、解：(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，众数为 m＝75 分； 前三个小矩形面积为 0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4. ∵中位数要平分直方图的面积．∴n＝70＋0.5－0.4 0.03 ＝73.3. . 4 分 (2)依题意 60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组频率和 为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75， ∴抽样学生成绩的合格率是 75%，. 8 分 利用组中值估算抽样学生的平均分 45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95· f6＝45×0.1＋55×0.15＋ 65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 估计这次考试的平均分是 71 分．. 12 分 20．解：(1) 去执行任务的同学中有男有女的概率为 P(X＝1)＋P(X＝2)＝ ＋ ＝ . ……………….6 分 (2) X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ，P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ . 即 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ……………….12 分 21 设函数 （I）求曲线 在点 处的切线方程； （II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围； （III）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I）由 ，得 ． 因为 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ． （II）当 时， ， 所以 ． 令 ，得 ，解得 或 ． 与 在区间 上的情况如下： 所以，当 且 时，存在 ， ， ，使得 ． 由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同 零点． 22、 已知函数 . （I）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围. 解析：（I） 的定义域为 .当 时， ， 所以曲线 在 处的切线方程为 （II）当 时， 等价于 令 ， 则 ， （i）当 ， 时， ， 故 在 上单调递增，因此 ； （ii）当 时，令 得 ， 由 和 得 ， 故当 时， ， 在 单调递减，因此 . 综上， 的取值范围是