- 2021-06-19 发布 |
- 37.5 KB |
- 48页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
高考数学专题复习课件:6-2 等差数列及其前
§6.2 等差数列及其前 n 项和 [ 考纲要求 ] 1. 理解等差数列的概念 .2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 .3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题 .4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 1 . 等差数列的有关概念 (1) 等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 ___ 项起,每一项与它的前一项的差等于 ____________ ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 __ 表示,定义表达式为 ____________________________________ 或 _________________________ . 2 同一个常数 d a n - a n - 1 = d ( 常数 )( n ∈ N * , n ≥ 2) a n + 1 - a n = d ( 常数 )( n ∈ N * ) 3 . 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广: a n = a m + _________ ( n , m ∈ N * ) . (2) 若 { a n } 为等差数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈ N * ) ,则 ________________ . (3) 若 { a n } 是等差数列,公差为 d ,则 { a 2 n } 也是等差数列,公差为 _____ . (4) 若 { a n } , { b n } 是等差数列,公差为 d ,则 { pa n + qb n } 也是等差数列. ( n - m ) d a k + a l = a m + a n 2 d (5) 若 { a n } 是等差数列,公差为 d ,则 a k , a k + m , a k + 2 m , … ( k , m ∈ N * ) 是公差为 ____ 的等差数列. (6) 数列 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m , … 也是等差数列. (7) S 2 n - 1 = (2 n - 1) a n . md 【 思考辨析 】 判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ( ) (2) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N * ,都有 2 a n + 1 = a n + a n + 2 .( ) (3) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的. ( ) (4) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数. (5) 数列 { a n } 满足 a n + 1 - a n = n ,则数列 { a n } 是等差数列. ( ) (6) 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n = pn + q ( 其中 p , q 为常数 ) ,则数列 { a n } 一定是等差数列. ( ) 【 答案 】 (1) × (2) √ (3) √ (4) × (5) × (6) √ 1 . (2015· 重庆 ) 在等差数列 { a n } 中,若 a 2 = 4 , a 4 = 2 ,则 a 6 等于 ( ) A .- 1 B . 0 C . 1 D . 6 【 解析 】 由等差数列的性质,得 a 6 = 2 a 4 - a 2 = 2 × 2 - 4 = 0 ,选 B. 【 答案 】 B 2 . (2016· 全国卷 Ⅰ ) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27 , a 10 = 8 ,则 a 100 = ( ) A . 100 B . 99 C . 98 D . 97 【 解析 】 设等差数列 { a n } 的公差为 d ,因为 { a n } 为等差数列,且 S 9 = 9 a 5 = 27 ,所以 a 5 = 3. 又 a 10 = 8 ,解得 5 d = a 10 - a 5 = 5 ,所以 d = 1 ,所以 a 100 = a 5 + 95 d = 98 ,选 C. 【 答案 】 C 3 .在等差数列 { a n } 中,已知 a 4 + a 8 = 16 ,则该数列前 11 项和 S 11 等于 ( ) A . 58 B . 88 C . 143 D . 176 【 答案 】 B 4 .设数列 { a n } 是等差数列,若 a 3 + a 4 + a 5 = 12 ,则 a 1 + a 2 + … + a 7 等于 ( ) A . 14 B . 21 C . 28 D . 35 【 解析 】 ∵ a 3 + a 4 + a 5 = 3 a 4 = 12 , ∴ a 4 = 4 , ∴ a 1 + a 2 + … + a 7 = 7 a 4 = 28. 【 答案 】 C 5 .已知数列 { a n } 对任意的 p , q ∈ N * 满足 a p + q = a p + q q ,且 a 2 =- 6 ,那么 a 10 等于 ( ) A .- 165 B .- 33 C .- 30 D .- 21 【 解析 】 由 a p + q = a p + a q ,得 a n + 1 = a n + a 1 , ∴ 数列 { a n } 成等差数列,且公差 d = a 1 . ∴ a 2 = a 1 + d =- 6 , 得 a 1 = d =- 3 , a 10 =- 3 + 9 × ( - 3) =- 30. 【 答案 】 C 题型一 等差数列基本量的运算 【 例 1 】 (1) (2016· 浙江温州五校上学期开学测试 ) 已知等差数列 { a n } 中第 2 项为 606 ,前 4 项和 S 4 为 3 834 ,则该数列第 4 项为 ( ) A . 2 004 B . 3 005 C . 2 424 D . 2 016 【 答案 】 (1)D (2)A 【 方法规律 】 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d ,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解. (2) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a 1 , a n , d , n , S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想. 跟踪训练 1 (1) (2015· 课标全国 Ⅱ ) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 1 + a 3 + a 5 = 3 ,则 S 5 等于 ( ) A . 5 B . 7 C . 9 D . 11 (2) (2016· 江苏 ) 已知 { a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项和.若 a 1 + a =- 3 , S 5 = 10 ,则 a 9 的值是 ________ . 【 答案 】 (1)A (2)20 【 方法规律 】 等差数列的四个判定方法 (1) 定义法:证明对任意正整数 n 都有 a n + 1 - a n 等于同一个常数. (2) 等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2 a n + 1 = a n + a n + 2 后,可递推得出 a n + 2 - a n + 1 = a n + 1 - a n = a n - a n - 1 = a n - 1 - a n - 2 = … = a 2 - a 1 ,根据定义得出数列 { a n } 为等差数列. (3) 通项公式法:得出 a n = pn + q 后,得 a n + 1 - a n = p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定数列 { a n } 为等差数列. (4) 前 n 项和公式法:得出 S n = An 2 + Bn 后,根据 S n , a n 的关系,得出 a n ,再使用定义法证明数列 { a n } 为等差数列. 题型三 等差数列的性质及应用 命题点 1 等差数列的性质 【 例 3 】 (1) (2016· 洛阳统考 ) 在等差数列 { a n } 中, a 3 + a 9 = 27 - a 6 , S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和,则 S 11 = ( ) A . 18 B . 99 C . 198 D . 297 (2) (2016· 常德一模 ) 已知 { a n } 为等差数列,若 a 1 + a 2 + a 3 = 5 , a 7 + a 8 + a 9 = 10 ,则 a 19 + a 20 + a 21 = ________ . 【 答案 】 (1)B (2)20 命题点 2 等差数列前 n 项和的最值 【 例 4 】 在等差数列 { a n } 中,已知 a 1 = 20 ,前 n 项和为 S n ,且 S 10 = S 15 ,求当 n 取何值时, S n 取得最大值,并求出它的最大值. ∵ n ∈ N * , ∴ 当 n = 12 或 13 时, S n 有最大值,且最大值为 S 12 = S 13 = 130. 方法三 由 S 10 = S 15 得 a 11 + a 12 + a 13 + a 14 + a 15 = 0. ∴ 5 a 13 = 0 ,即 a 13 = 0. ∴ 当 n = 12 或 13 时, S n 有最大值,且最大值为 S 12 = S 13 = 130. 【 引申探究 】 例 4 中,若条件 “ a 1 = 20 ” 改为 a 1 =- 20 ,其他条件不变,求当 n 取何值时, S n 取得最小值,并求出最小值. 跟踪训练 3 (1) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 5 + a 7 = 4 , a 6 + a 8 =- 2 ,则当 S n 取最大值时, n 的值是 ( ) A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 (2) (2016· 湖南株洲二中月考 ) 已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,且 S 6 > S 7 > S 5 ,给出下列五个命题: ① d < 0 ; ② S 11 > 0 ; ③ S 12 < 0 ; ④ 数列 { S n } 中的最大项为 S 11 ; ⑤ | a 6 | > | a 7 |. 其中正确命题的个数是 ( ) A . 5 B . 4 C . 3 D . 1 (3) 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 = 20 ,公差 d =- 2 ,则前 n 项和 S n 的最大值为 ________ . 【 解析 】 (1) 依题意得 2 a 6 = 4 , 2 a 7 =- 2 , a 6 = 2 > 0 , a 7 =- 1 < 0 ;又数列 { a n } 是等差数列,因此在该数列中,前 6 项均为正数,自第 7 项起以后各项均为负数,于是当 S n 取最大值时 , n = 6 ,选 B. 【 答案 】 (1)B (2)C (3)110 高频小考点 6 等差数列的前 n 项和及其最值 【 典例 】 (1) 在等差数列 { a n } 中, 2( a 1 + a 3 + a 5 ) + 3( a 7 + a 9 ) = 54 ,则此数列前 10 项的和 S 10 等于 ( ) A . 45 B . 60 C . 75 D . 90 (2) 在等差数列 { a n } 中, S 10 = 100 , S 100 = 10 ,则 S 110 = ________ . (3) 等差数列 { a n } 中,已知 a 5 > 0 , a 4 + a 7 < 0 ,则 { a n } 的前 n 项和 S n 的最大值为 ( ) A . S 4 B . S 5 C . S 6 D . S 7 【 思维点拨 】 (1) 求等差数列前 n 项和,可以通过求解基本量 a 1 , d ,代入前 n 项和公式计算,也可以利用等差数列的性质: a 1 + a n = a 2 + a n - 1 = … ; (2) 求等差数列前 n 项和的最值,可以将 S n 化为关于 n 的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项. 【 答案 】 (1)A (2) - 110 (3)B 【 温馨提醒 】 (1) 利用函数思想求等差数列前 n 项和 S n 的最值时,要注意到 n ∈ N * ; (2) 利用等差数列的性质求 S n ,突出了整体思想,减少了运算量 . ► 方法与技巧 1 .在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于 a 1 , d 的方程组进行求解. 2 .证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前 n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列. 3 .等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量. 4 .在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为 (1) a , a + d , a + 2 d ; (2) a - d , a , a + d ; (3) a - d , a + d , a + 3 d 等,可视具体情况而定. ► 失误与防范 1 .当公差 d ≠ 0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函数,当公差 d = 0 时, a n 为常数. 2 .公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0. 若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列 .查看更多