2020届长春地区高三一模(理数)答案

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数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1页（共 4页） 长春市 2020 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D 8. A 9. C 10. B 11. C 12. C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. 112 14. 2 15. 20 16. 2 2 1 n n  ， 1( 1) ( 1) n n n    三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知 sinsin sin cos AA B A   ，即 sin cosB A ， 由 a b ，可得 2A B   ，即 ABC△ 是直角三角形. （6 分） （Ⅱ） ABC 的周长 10 10sin 10cosL A A   ， 10 10 2 sin( )4L A    ， 由 a b 可知， 4 2A   ，因此 2 sin( ) 12 4A    ，即 20 10 10 2S   . （12 分） 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取 PA 中点 M ，连结 EM 、 DM ， // // // EM CD CE DM CE PADEM CD DM PAD         平面 平面 . （6 分） （Ⅱ）以 A 为原点，以 AD 方面为 x 轴，以 AB 方向为 y 轴，以 AP 方向为 z 轴， 建立坐标系. 可得 (2,0,0)D ， (2,1,0)C ， (0,0,4)P ， (0,2,0)B ， (0,1,2)E ， (0, 1,0)CD   ， ( 2,0,2)CE   ， 平面CDE 的法向量为 1 (1,0,1)n  ； 平面 ABCD 的法向量为 2 (0,0,1)n  ； 因此 1 2 1 2 | | 2cos | | | | 2 n n n n      . 即平面CDE 与平面 ABCD 所成的锐二面角为 4  . （12 分） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2页（共 4页） 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查概率的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得 50 分即为将其余 4 道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为 1 1 1 1 1( 50) 2 2 3 3 36P X       . （4 分） （Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为 X ， 则 X 的可能取值为 30，35，40，45，50. 1 1 2 2 4( 30) 2 2 3 3 36P X       1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 12( 35) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X                   1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 13( 40) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X                           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 6( 45) 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X                   1 1 1 1 1( 50) 2 2 3 3 36P X       该考生本次测验选择题所得分数为 X 的分布列为 X 30 35 40 45 50 P 4 36 12 36 13 36 6 36 1 36 选择题所得分数为 X 的数学期望为 115 3EX  . （12 分） 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得， P 点的轨迹为椭圆且 2 4a  ， 1c  . 因此椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  . （4 分） （Ⅱ）设直线l 的方程为 3x ty  与椭圆 2 2 14 3 x y  交于点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，联立直线与椭圆的方程消去 x 可得 2 2(3 4) 6 3 3 0t y ty    ，即 1 2 2 6 3 3 4 ty y t    ， 1 2 2 3 3 4y y t   . AOB 面积可表示为 2 1 2 1 2 1 2 1 1| | | | 3 ( ) 42 2AOBS OQ y y y y y y       △ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 3 3 3 2 3 63 ( ) 4 9 3 4 3 12 3 4 3 4 2 3 4 3 4 t t t tt t t t                令 23 1t u  ，则 1u ≥ ，上式可化为 2 6 6 333 u u u u   ≤ ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3页（共 4页） 当且仅当 3u  ，即 6 3t   时等号成立， 因此 AOB 面积的最大值为 3 ，此时直线l 的方程为 6 33x y   . （12 分） 21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知 1( ) ln 1f x x x     ， ( )f x 单调递增，且 (1) 0f   ， 当 0 1x  时， ( ) 0f x  ，当 1x ≥ 时， ( ) 0f x ≥ ； 因此 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在[1, ) 上单调递增. （4 分） （Ⅱ）由 3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e      有两个零点可知 由 1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x       且 0m  可知， 当 0 1x  时， ( ) 0h x  ，当 1x ≥ 时， ( ) 0h x ≥ ； 即 ( )h x 的最小值为 3(1) 1 0h e    ， 因此当 1x e  时， 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e            ， 可知 ( )h x 在 1( ,1)e 上存在一个零点； 当 x e 时， 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e       ， 可知 ( )h x 在 (1, )e 上也存在一个零点； 因此 2 1 1x x e e    ，即 1 2 1x e x e    . （12 分） 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为 3 0x y   ， 圆C 的直角坐标方程为 2 2 4 3 0x y x    . （5 分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得 2 22 2 2(1 ) (2 ) 4(1 ) 3 02 2 2t t t       ，化简可得 2 3 2 2 0t t   . 则 1 2| | | | | | 2PA PB t t   . （10 分） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 4页（共 4页） 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 ( 3) (1 ), 3 4, 3 ( ) ( 3) (1 ), 3 1 2 2, 3 1 ( 3) ( 1), 1 4, 1 x x x x f x x x x x x x x x x                                ≤ ≤ ≤ ≤ 当 3x   时， 4 1x ≥ ，可得 5x ≤ ，即 5x ≤ . 当 3 1x ≤ ≤ 时， 2 2 1x x ≥ ，可得 1x ≥ ，即 1 1x ≤ ≤ . 当 1x  时， 4 1x ≥ ，可得 3x ≤ ，即1 3x ≤ . 综上，不等式 ( ) 1f x x ≥ 的解集为 ( , 5] [ 1,3]   . （5 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 )(xf 的最大值 4M  ，且 1 4ab a b    ， 即 23 ( ) ( )2 a ba b ab    ≤ ，当且仅当 a b 时“=”成立， 可得 2( 2) 16a b  ≥ ，即 2a b ≥ ，因此 ba  的最小值为 2. （10 分）