2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题六 第2讲 基本初等函数、函数与方程含解析
第2讲 基本初等函数、函数与方程
[做真题]
题型一 指数与指数函数
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a0可得－x<0，
由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
所以x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
所以－aln 2＝ln 8＝3ln 2，所以a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
所以f(ln 2)＝－f＝－(－ealn )＝8，
所以aln ＝ln 8＝3ln 2，所以a＝－3.
答案：－3
题型二 对数与对数函数
(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
解析：选C.法一：由a>b>1，0bc，A错；
因为0ac－1，又ab>0，所以ab·bc－1>ab·ac－1，即abc>bac，B错；易知y＝logcx
是减函数，所以0>logcb>logca，D错；
由logbc－logac>0，又a>b>1>0，所以－alogbc>－blogac>0，所以alogbc0，a≠1)．
3．幂函数
了解幂函数的概念：结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
4．函数与方程
(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
(2)了解二分法求方程近似解
5．函数模型及其应用
(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型的广泛应用．(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)
基本初等函数的图象与性质
[典型例题]
(1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x B． y＝2－x
C．y＝logx D．y＝
(2)(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c0，且a≠1)的图象可能是( )
【解析】 (1)对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A.
(2)因为a＝log27>log24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<1，所以c1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.
优解：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.
【答案】 (1)A (2)A (3)D
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和α<0两种情况的不同．
[对点训练]
1．(一题多解)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D.法一：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f(x)＝＝2x，所以g(x)＝log2x，
所以f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.
法二：因为f(x)＝.所以f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2，4)，因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以函数g(x)的图象经过点(4，2)，所以f(2)＋g(4)＝4＋2＝6.
2．(2019·福建五校第二次联考)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：选D.a＝log3，c＝log＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35>log3>log33，所以c>a>1.借助指数函数y＝的图象易知b＝∈(0，1)，故c>a>b，选D.
3．(2019·贵州教学质量测评改编)已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.
答案： 1
函数与方程
[典型例题]
命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况
(1)已知实数a>1，01，00，
所以f(－1)·f(0)<0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
(2)由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1，2]上的图象如图．
令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，两函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象在上的交点有5个．
【答案】 (1)B (2)C
判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．
命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围
(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．
C．{0}∪(1，＋∞) D．(0，1]
(2)(2019·济阳模拟)若关于x的方程ex＋ax－a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－e2，0] B．[0，e2)
C．(－e，0] D．[0，e)
【解析】 (1)当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(－2，0]，由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.
(2)由题意可知只需证ex＋ax－a>0恒成立，即证ex>－a(x－1)．
当x<1时，－a>，令f(x)＝，则f′(x)＝<0，则f(x)单调递减，即有f(x)<0，解得－a≥0，即a≤0；
当x＝1时，e>0成立，a可以是任意实数；
当x>1时，－a<，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，也是最小值e2，即有－a－e2.
综上，实数a的取值范围是(－e2，0]，故选A.
【答案】 (1)D (2)A
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
[对点训练]
1．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sin πx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]上所有零点的和为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D.令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋与g(x)＝1－sin πx的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，且这些交点关于直线x＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.
2．已知函数f(x)＝－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程－kx＝0只有一个根，即方程＝k只有一个根，设g(x)＝，则函数g(x)＝的图象与直线y＝k只有一个交点．
因为g′(x)＝，所以函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g(x)的极小值g(2)＝，且x→0时，g(x)→＋∞，x→－∞时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，则g(x)的图象如图所示，由图易知0200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
2．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足的函数关系式为y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.
解析：由已知，得eb＝192，e22k＋b＝48，两式相除得e22k＝，所以e11k＝，
所以e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.
答案：24
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－2或3
解析：选C.f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.
又在x∈(0，＋∞)上是增函数，
所以m＝3.
2．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是( )
A．(0，0) B．(0，－1)
C．(－2，0) D．(－2，－1)
解析：选C.令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2，0)．
3．若a＝log，b＝e，c＝log3cos ，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
解析：选B.因为0<<<1，所以1＝log>log>0，所以0e0＝1，所以b>1.因为0a>c，选B.
4．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1，1)上的减函数
D．(－1，1)上的增函数
解析：选D.由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝lg＝lg ，令>0，则－10且a≠1)的值域为{y|00且a≠1)的值域为{y|00 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
解析：选A.作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)(a0，又易知－10.所以a＋b＋4>0，所以a＋b>0.故选A.
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0，1)时f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象如图所示，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点．
9．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝2x＋log3 ，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．
解析：选D.由>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3 ＝log3 ＝log3在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(1,m)))>3成立等价于不等式f>f(1)成立，所以解得1时，方程有两个实根
C．当k＝0时，方程有一个实根
D．当k≥1时，方程有实根
解析：选ABD.方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的直线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD.
12．(多选)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是( )
A．11
解析：选AC.函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，
x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知12＝2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2.
13．(多选)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)．下列命题正确的有( )
A．f(2 016)＋f(－2 017)＝0
B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点
D．函数f(x)的值域为(－1，1)
解析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如图所示，
根据图象可知，A，f(2 016)＋f(－2 017)＝0正确；B，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以B不正确；C，根据图象可知y＝x与f(x)的图象有1个交点，所以C正确；D，根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，所以D正确．
二、填空题
14．已知函数f(x)＝则f＋f(log2 )＝________．
解析：由题可得f＝log＝2，因为log2 <0，
所以f＝＝2log26＝6，故f＋f＝8.
答案：8
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若
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