福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题（解析版）

福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题（解析版）

福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，‎ B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，‎ 则A∩B＝{x|1＜x＜2}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．‎ ‎2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．‎ ‎【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的离心率为e 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概率计算公式计算即可．‎ ‎【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．‎ ‎【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），‎ ‎∴tanα，则tan（α）3，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎5.‎ 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在①处应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．‎ ‎【详解】由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.‎ ‎6.实数，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 18 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：‎ ‎，‎ 由，解得A（3，4），‎ 由z＝4x+3y得l：yxz，平移l 结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，‎ z的最大值是24，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．‎ ‎7.定义在上的连续函数，当时，函数单调递增，且函数的图象关于直线对称，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）＝0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．‎ ‎【详解】函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，‎ 即函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，故函数f（x）是偶函数，‎ 而f（2）＝0，故f（2﹣m）＞0，即f（2﹣m）＞f（2）,由题意知函数为增函数，故|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性，考查转化思想以及函数的单调性，熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等式是关键,是一道中档题．‎ ‎8.在平行四边形中，，，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示化简， ,再结合数量积运算，即可求出答案．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ 若•12，‎ 则•（）•（）‎ ‎• ‎ ‎32223×2×cos∠BAD＝12，‎ cos∠BAD，又∠BAD∈（0，）‎ ‎∴∠BAD．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积运算，将向量表示为是关键，基础题目．‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥，放入长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．‎ ‎【详解】根据四棱锥的三视图，知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥；‎ 且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；‎ 放入长方体（图2所示），长方体的长CD=2，宽为，高为．‎ 设该四棱锥的外接球球心为O，则 过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，‎ 作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；‎ ‎∴OM，ON；‎ ‎∴外接球的半径满足 R2＝ON2+AN2，‎ ‎∴外接球的表面积为 S＝4πR2＝4π．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了由空间几何体三视图，外接球问题，准确还原几何体，将四棱锥放到长方体中是关键，是综合性题目．‎ ‎10.已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上两动点，且（为常数），线段中点为，过点作的垂线，垂足为，若的最小值为1，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P．‎ 设|AF|=a，|BF|=b，连AF，BF．‎ 由抛物线定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|．‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 在中，由余弦定理得．‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∵的最小值为1， ‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．选C．‎ 点睛：‎ ‎（1）抛物线定义在解题中的两个应用：①当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题．②当动点满足的几何条件符合抛物线的定义时，可根据定义得到动点的轨迹是抛物线，进而可求得抛物线的方程．‎ ‎（2）应用基本不等式求最值时，一定要注意不等式使用的条件，当所给式子不满足条件时需要通过变形得到所需要的形式，然后再用不等式求解．‎ ‎11.已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得到关于数列{an}的递推式，进一步得到{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{an}的前n项和为Sn，进一步求得数列{an}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λan2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案．‎ ‎【详解】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，‎ 由d2r2，且，‎ 得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，‎ 即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；‎ ‎∴{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．‎ 由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，‎ ‎∴Sn+2＝（+2）•2n﹣1，则Sn＝2n+1﹣2；‎ ‎∴（n≥2）．‎ ‎＝2适合上式，‎ ‎∴．‎ 设 ，，‎ 所以 .‎ 所以，若对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，即对任意恒成立.‎ 设，因为，所以，故的最大值为 因为，所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．‎ ‎12.已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）＝（2x）•sinx，（0＜x），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值，结合零点存在定理和得的范围 ‎【详解】由题意知，与关于直线对称，设，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∵，∴，∴在区间上单调递减，‎ 且，，∴在区间存在唯一零点，即为.‎ 令得：，即.‎ 由不等式得：，解得：，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等，三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的除法运算得z,再由共轭复数得答案．‎ ‎【详解】由得z，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，准确计算是关键，是基础题．‎ ‎14.是等差数列，其前项和为，，，的最大值为__________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列{an}的公差为d，根据，可得3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d，．令，解得n，进而得出的最大值．‎ ‎【详解】设等差数列{an}的公差为d，∵，，‎ ‎∴3d＝﹣15，3+6d＝15，‎ 解得d＝﹣5，＝15．‎ ‎∴an＝15﹣5（n﹣1）＝20﹣5n，‎ 由解得3≤n≤4．‎ 则的最大值为＝＝3×1530．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，数列和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎15.直三棱柱中，，，，直线与平面所成角等于，则三棱柱的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，B，∠＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣的侧面积．‎ ‎【详解】由题意，面B，∠＝60°，∴，B，∴AB，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣的侧面积为（2）×1，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎16.若实数，，满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.，得,故|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解．‎ ‎【详解】∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．‎ ‎∴2b+1＝c+lnc，‎ ‎∴b．‎ ‎∴|b﹣c|，‎ 令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），‎ f′（c）＝1，当c>1, f′（c）>0;0

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