高中数学必修2同步练习:第四章圆与方程(B)
必修二 第四章 圆与方程(B)
一、选择题
1、过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m间的距离为( )
A.4 B.2 C. D.
2、若x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是( )
A.-5 B.5-
C.30-10 D.无法确定
3、直线y=x+b与曲线x=有且只有一个公共点,则b的取值范围是( )
A.|b|=
B.-1
2 B.-32 D.以上都不对
二、填空题
13、两圆x2+y2+4y=0,x2+y2+2(a-1)x+2y+a2=0在交点处的切线互相垂直,那么实数a的值为________.
14、点M(1,2,-3)关于原点的对称点是________.
15、已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是________.
16、已知P(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点,则过点P的最短弦所在直线方程是________,过点P的最长弦所在直线方程是________.
三、解答题
17、已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.
(1)求证:无论m为何值,直线l与圆C总相交.
(2)m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最小?请求出该最小值.
18、已知三条直线l1:x-2y=0,l2:y+1=0,l3:2x+y-1=0两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程.
19、已知A(3,5),B(-1,3),C(-3,1)为△ABC的三个顶点,O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点,求△OMN的外接圆的方程,并求这个圆的圆心和半径.
20、已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
21、矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
22、在三棱柱ABO-A′B′O′中,∠AOB=90°,侧棱OO′⊥面OAB,OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点,在线段BB′上求一点E,使|EC|最小.
以下是答案
一、选择题
1、A [根据题意,知点P在圆上,
∴切线l的斜率k=-=-=.
∴直线l的方程为y-4=(x+2).
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行,
∴直线m的方程为4x-3y=0.
故直线l与m间的距离为d==4.]
2、C [配方得(x-1)2+(y+2)2=25,圆心坐标为(1,-2),半径r=5,所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离,即5-,故可求x2+y2的最小值为30-10.]
3、D [
如图,由数形结合知,选D.]
4、D [l为两圆圆心连线的垂直平分线,(0,0)与(-2,2)的中点为(-1,1),kl=1,
∴y-1=x+1,即x-y+2=0.]
5、A [设点A关于点(0,1,-3)的对称点为A′(x,y,z),则(0,1,-3)为线段AA′的中点,即=0,=1,=-3,
∴x=-3,y=4,z=-10.∴A′(-3,4,-10).]
6、A [设两切线切点分别为(x1,y1),(x2,y2),则两切线方程为x1x+y1y=4,
x2x+y2y=4.
又M(4,-1)在两切线上,∴4x1-y1=4,4x2-y2=4.
∴两切点的坐标满足方程4x-y=4.]
7、B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号,可判定圆心位置,又圆过原点,所以只有B符合.]
8、B [圆C1与C2方程相减得两圆公共弦方程,当圆C2的圆心在公共弦上时,圆C1始终平分圆C2的周长,所以选B.]
9、B [由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故选B.]
10、A [由题意知P(0,-).P到圆心(-1,0)的距离为2,
∴P分直径所得两段为5-2和5+2,即3和7.
选A.]
11、C [由勾股定理,得(m-2)2+n2=8.]
12、C [由题意知点在圆外,故12+22+k+2×2+k2-15>0,解得k<-3或k>2.]
二、填空题
13、-2
解析 两圆心与交点构成一直角三角形,由勾股定理和半径范围可知a=-2.
14、(-1,-2,3)
15、(x+2)2+y2=2
解析 设圆心坐标为(a,0)(a<0),则由圆心到直线的距离为知=,故a=-2,因此圆O的方程为(x+2)2+y2=2.
16、x+y-3=0,x-y-3=0
解析 点P为弦的中点,即圆心和点P的连线与弦垂直时,弦最短;过圆心即弦为直径时最长.
三、解答题
17、(1)证明 直线l变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0.
令解得
如图所示,故动直线l恒过定点A(2,3).
而|AC|==<3(半径).
∴点A在圆内,故无论m取何值,直线l与圆C总相交.
(2)解 由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小,即当AC垂直直线l时,弦长最小,
此时kl·kAC=-1,即·=-1,∴m=-.
最小值为2=2.
故m为-时,直线l被圆C所截得的弦长最小,最小值为2.
18、解
l2平行于x轴,l1与l3互相垂直.三交点A,B,C构成直角三角形,经过A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆.
解方程组得
所以点A的坐标是(-2,-1).
解方程组得
所以点B的坐标是(1,-1).
线段AB的中点坐标是,又|AB|==3.
所求圆的标准方程是2+(y+1)2=.
19、解 ∵点O、M、N分别为AB、BC、CA的中点且A(3,5),B(-1,3),C(-3,1),
∴O(1,4),M(-2,2),N(0,3).
∵所求圆经过点O、M、N,
∴设△OMN外接圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
把点O、M、N的坐标分别代入圆的方程得
,
解得.
∴△OMN外接圆的方程为x2+y2+7x-15y+36=0,
圆心为,半径r=.
20、解 (1)将圆C整理得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,
∴圆心到切线的距离为=,即k2-4k-2=0,解得k=2±.
∴y=(2±)x;
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0,
∴圆心到切线的距离为=,即|a-1|=2,解得a=3或-1.
∴x+y+1=0或x+y-3=0.综上所述,所求切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)∵|PO|=|PM|,
∴x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,即2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,即|OP|取得最小值,此时直线OP⊥l,
∴直线OP的方程为:2x+y=0,
解得方程组得
∴P点坐标为.
21、解 (1)∵AB所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,∴直线AD的斜率为-3.
又∵点T(-1,1)在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0.
(2)由得
∴点A的坐标为(0,-2),
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0),
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心,又|AM|==2,
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
22、解
如图所示,
以三棱原点,以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA=OB=OO′=2,得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0),A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2).
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1),设E点坐标为(0,2,z),
∴|EC|=
=.
故当z=1时,|EC|取得最小值为.
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点.