高三数学（文数）总复习练习专题十一 立体几何

高三数学（文数）总复习练习专题十一 立体几何

‎1．(2015·浙江，2，易)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)‎ A．8 cm3‎ B．12 cm3‎ C. cm3‎ D. cm3‎ ‎【答案】　C　由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥组成的，其体积为V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm3)，故选C.‎ ‎2．(2015·课标Ⅱ，6，易)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　如图，截去的是三棱锥A′AB′D′.设正方体棱长为1，则三棱锥体积为，剩余部分的体积为，所以三棱锥与剩余部分的体积比为，故选D.‎ ‎3．(2015· 北京，7，中)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎【答案】　C　由三视图可知，四棱锥PABCD底面是边长为1的正方形，棱PA⊥平面ABCD，且PA＝1，如图．‎ ‎∴PC是该四棱锥的最长棱，‎ ‎∴PC＝＝＝.‎ ‎4．(2015·安徽，9，中)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　) ‎ A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 ‎【答案】　C　根据三视图可以得到如图所示几何体．‎ 即侧面ABD⊥底面BCD，且AB＝AD＝BC＝CD＝.‎ 故四面体的表面积为 S＝2×＋2×＝2＋.‎ ‎5．(2015·课标Ⅰ，11，中)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】　B　由题意可知，该几何体为个圆柱与半球拼接而成的组合体，应有＋＝16＋20π，解得r＝2，选B.‎ ‎1．(2012·福建，4，易)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎【答案】　D　∵球的三视图均为圆；正方体的三视图均为正方形，∴排除A，C.而三条侧棱两两垂直且相等的三棱锥的三视图为全等的直角三角形，排除B.∵圆柱的正视图与侧视图均是矩形，俯视图为圆，故选D.‎ ‎2．(2014·课标Ⅰ，8，易)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎【答案】　B　由图可知该几何体为平放的直三棱柱，且上、下两底面为等腰直角三角形，如图．‎ ‎3．(2011·山东，11，中)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】　A　如图①②③的正(主)视图和俯视图都与题干中的相同，故3个命题都是真命题．‎ ‎4．(2014·安徽，8，中)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C．6 D．7‎ ‎【答案】　A　由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体切去两个三棱锥，如图所示．‎ 正方体体积为23＝8，两个三棱锥体积为2×××1×1×1＝，所以该多面体的体积为8－＝.‎ ‎5．(2013·山东，4，中)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)‎ A．4，8 B．4， C．4(＋1)， D．8，8‎ ‎【答案】　B　由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为.所以该四棱锥的侧面积为4××2×＝4，体积为×22×2＝，故答案为B.‎ ‎6．(2014·课标Ⅱ，6，难)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　由三视图可知，该零件为两个圆柱的组合体，如图所示．‎ 设该零件的体积为V1，原来毛坯体积为V，削掉部分体积为V2，‎ 则V1＝π×4×4＋π×9×2＝34π，‎ V＝π×9×6＝54π，‎ V2＝V－V1＝20π，‎ 所以＝＝.‎ ‎7．(2013·陕西，12，中)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．‎ ‎【解析】　由三视图可知，该几何体为半径r＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，‎ 所以S＝πr2＋×4πr2＝π·12＋×4π·12＝3π.‎ ‎【答案】　3π ‎8．(2014·北京，11，中)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．‎ ‎【解析】　该几何体的直观图如图所示，‎ 由三视图知PA⊥平面ABC，则PA＝AC＝2，△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎∴PC＝＝2，AB＝BC＝，PB＝＝，‎ ‎∴最长棱为PC＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎9．(2014·陕西，19，12分，中)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：四边形EFGH是矩形．‎ 解：(1)由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，‎ ‎∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∴四面体ABCD的体积 V＝××2×2×1＝.‎ ‎(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，‎ 又平面EFGH∩平面ABC＝EH，‎ ‎∴BC∥FG，BC∥EH，‎ ‎∴FG∥EH.‎ 同理，EF∥AD，HG∥AD，‎ ‎∴EF∥HG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，‎ ‎∴EF⊥FG，‎ ‎∴四边形EFGH是矩形．‎ 思路点拨：(1)证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；(2)证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥FG，即可证明四边形EFGH是矩形．‎ 考向1　三视图与直观图的辨识 ‎1．空间几何体的三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．‎ ‎2．用斜二测画法画几何体直观图的注意点 ‎(1)用斜二测画法画几何体直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：‎ ‎①“三变” ‎②“三不变” ‎(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S ‎′之间的关系：S′＝S，并能进行相关的计算．‎ ‎(1)(2013·四川，2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　)‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎(2)(2014·湖北，7)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ A．①和② B．③和①‎ C．④和③ D．④和②‎ ‎【解析】　(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.‎ ‎(2)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，则四面体ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D ‎【点拨】　在解答第(2)题时容易因为对三视图不够了解而错选C，在三视图中，看不见的棱应该用虚线标出．‎ ‎ 由三视图还原直观图的方法 ‎(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．‎ ‎(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．‎ ‎(3)想象物体原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．‎ ‎(2012·湖南，4)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)‎ ‎【答案】　C　A中图是两个圆柱的组合体的俯视图；B中图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；D中图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选C.‎ 考向2　三视图与直观图的应用 ‎1．常见几何体的三视图的形状 ‎(1)空间几何体的三视图中如果正(主)视图和侧(左)视图都是三角形，那么其一定是锥体，如果俯视图是多边形则是棱锥，多边形的边数是几，这个棱锥就是几棱锥，如果俯视图是圆则是圆锥．‎ ‎(2)空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图如果都是矩形，这个空间几何体一定是柱体，‎ 如果俯视图是多边形，则该空间几何体是棱柱，多边形的边数是几就是几棱柱，如果俯视图是圆则是圆柱．‎ ‎2．明确三视图与几何体的数量关系 正(主)视图、侧(左)视图的高就是空间几何体的高；正(主)视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度；侧(左)视图、俯视图中的宽就是几何体的最大宽度．‎ ‎(1)(2012·北京，7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 ‎(2)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎(3)(2015·豫南九校第三次联考，14)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．‎ ‎【思路导引】　(1)由三视图还原为直观图，再结合图形，求三棱锥的表面积；‎ ‎(2)先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算；‎ ‎(3)→→→ ‎【解析】　(1)由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图所示．‎ 过D作DM⊥AC，连接BM.‎ S△ACD＝AC·DM＝×5×4＝10.‎ S△ABC＝AC·BC＝×5×4＝10.‎ 在△CMB中，∠MCB＝90°，∴BM＝5.‎ 由三视图知DM⊥平面ABC，∴∠DMB＝90°，‎ ‎∴DB＝＝，‎ ‎∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，‎ ‎∴S△BCD＝×5×4＝10.‎ 在△ABD中，如图，S△ABD＝×2×6＝6，‎ ‎∴S表＝10＋10＋10＋6＝30＋6.故选B.‎ ‎(2)由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC－A1B1C1截掉一个三棱锥D－A1B1C1得到的，‎ 其中AC＝4，BC＝3，AA1＝5，AD＝2，BC⊥AC，∴该几何体的体积V＝·AC·BC·AA1－×·A1C1·B1C1·A1D＝×4×3×5－××4×3×3＝30－6＝24.‎ ‎(3)如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.‎ 在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 而四边形AECD为矩形，AD＝1，‎ ‎∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此可还原原图形如图．‎ 在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，‎ ‎∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′‎ ‎＝××2＝2＋.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C　(3)2＋ ‎ 求与三视图有关的几何体的表面积或体积的 步骤 ‎(1)以三视图为载体求几何体的表面积或体积时，需要对三视图进行适当分析，还原出空间几何体．‎ ‎(2)根据三视图的形状与图中所给数据，以及“正(主)视图反映几何体的长和高，侧(左)视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”，确定原几何体中点、线、面的位置关系及主要线段的长度．‎ ‎(3)利用相应的几何体表面积或体积公式进行计算．‎ ‎(2013·重庆，8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．180 B．200‎ C．220 D．240‎ ‎【答案】　D　由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱ABCDA1B1C1D1.‎ ‎＝2×10＝20，‎ ‎＝(3＋2＋3)×10＝80，‎ S四边形ABCD＝＝×(2＋8)×4＝20，‎ ‎＝＝10×5＝50，‎ ‎∴表面积＝20＋80＋2×20＋2×50＝240.‎ ‎1．(2015·河南南阳联考，5)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为(　　)‎ ‎【答案】　C　由已知条件得直观图如图所示，正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.‎ ‎2．(2015·山西太原一模，5)一个正三棱柱的正(主)视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为(　　)‎ A．6 B．8‎ C．8 D．12‎ ‎【答案】　A　该三棱柱的侧(左)视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧(左)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为2，侧(左)视图的高为3，故其侧(左)视图的面积为S＝2×3＝6，故选A.‎ ‎3．(2014·福建三明三模，4)如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋ B.＋ C．3＋ D．3＋ ‎【答案】　D　由三视图可知，该几何体上部为直径为1的球，下部为底面边长为2，高为3的正三棱柱，其体积V＝π×＋×22×3＝＋3，故选D.‎ ‎4．(2014·山东临沂二模，6)具有如图所示的正(主)视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为(　　)‎ A．13 B．7＋3 C. D．14‎ ‎【答案】　D　由正(主)视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1，3，∴表面积为2×(1×3＋1×1＋3×1)＝14，故选D.‎ ‎5．(2015·河北邯郸二模，6)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，‎ 则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】　D　由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥PABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．故选D.‎ ‎6．(2015·四川广元二模，5)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)‎ A．8 B．6 C．10 D．8 ‎【答案】　C　由三视图可知四面体的四个面均为直角三角形，底面两直角边长为3，4，其面积为6，一个侧面的两直角边长均为4，其面积为8，一个侧面的两直角边长为3，4，其面积为6，一个侧面的两直角边长为5，4，其面积为10，比较这四个值的大小可知应选C.‎ ‎7．(2015·湖北黄冈第六次测试，8)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4 ‎【答案】　C　由三视图可知该四面体的直观图如图所示．‎ 其中AC＝2，PA＝2，PC＝2，△ABC中，边AC上的高为2，所以BC＝＝2，AB＝＝4，而PB＝＝＝2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其值为2，选C.‎ ‎8．(2014·山东泰安模拟，14)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.‎ ‎【解析】　由三视图可知，该三棱锥的体积V＝××5×6h＝20，解得h＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎9．(2014·豫东、豫北十校联考，14)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ ‎【解析】　由三视图可知该几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V柱＋V球＝Sh＋·πr3＝π×2＋×π×13＝π.‎ ‎【答案】　π ‎10．(2015·山西四校联考，15)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．‎ ‎【解析】　设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝2，BC＝BD＝2，BC⊥BD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R＝2，R＝，所以该三棱锥的外接球体积为×()3＝4π.‎ ‎【答案】　4π ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2015·山东，9，中)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．2π D．4π ‎【答案】　B　依题意，曲面所围成的几何体为两圆锥的组合体，所求体积V＝2×Sh＝2×π×()2×＝，故选B.‎ ‎2．(2015·课标Ⅱ，10，中)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎【答案】　C　设球O的半径为R，由题知当OC⊥平面OAB时，三棱锥OABC的体积最大，VO－ABC＝R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π.‎ ‎3．(2015·课标Ⅰ，6，中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【答案】　B　设米堆所在圆锥的底面圆的半径为r，则8×4＝2×3×r，解得r＝，‎ 所以米堆的体积为×＝，估算出堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．选B.‎ ‎4．(2015·湖南，10，难)某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　由三视图可知，工件为圆锥，底面半径r＝1，h＝2，V1＝π.‎ 作圆锥内接正方体的轴截面．‎ 设正方体边长为a，则＝.‎ 解得a＝.‎ 所以V2＝＝.‎ 所以利用率为÷π＝.‎ ‎5．(2015·江苏，9，中)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．‎ ‎【解析】　设新的底面半径为r，根据题意得 π×52×4＋π×22×8＝πr2×4＋8πr2，即28r2＝196，∴r＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2015·课标Ⅱ，19，12分，中)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎ ‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ 解：(1)如图，交线围成的正方形EHGF，‎ ‎(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.‎ 因为EHGF为正方形，‎ 所以EH＝EF＝BC＝10.‎ 于是MH＝＝6， ‎ AH＝10，HB＝6.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，‎ 所以其体积的比值为(也正确)． ‎ ‎1．(2014·四川，4，易)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)‎ ‎(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)‎ A．3 B．2 C. D．1‎ ‎【答案】　D　由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V＝××2××＝1.‎ ‎2．(2012·课标全国，8，中)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)‎ A.π B．4π C．4π D．6π ‎【答案】　B　如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝1，∴球的半径R＝|OA|＝＝.‎ ‎ ‎ ‎∴球的体积V＝πR3＝4π.故选B.‎ ‎3．(2014·湖北，10，中)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，‎ 这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　设圆锥底面半径为r，则2πr＝L，r＝.圆锥的体积V＝πr2h＝h＝，∴12π≈，∴π≈＝，故选B.‎ ‎4．(2014·大纲全国，10，中)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. ‎【答案】　A　由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4－R)2＋()2＝R2，解得R＝，所以球的表面积为4π×＝π，故选A.‎ ‎5．(2013·天津，10，中)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．‎ ‎【解析】　设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径R＝a.因为球的体积为π，所以π·R3＝π，即R＝＝a，所以a＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2014·江苏，8，中)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．‎ ‎【解析】　设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝，则＝＝·＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎7．(2012·山东，13，中)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．‎ ‎【解析】　由题意得B1C∥平面ADD1A1，‎ ‎∴E到平面ADD1A1的距离d为定值1，‎ ‎∴VADED1＝VED1DA＝S△D1DA·d＝××1＝.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2013·课标Ⅱ，15，难)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．‎ ‎【解析】　设底面中心为E，则|AE|＝·|AC|＝，∵体积V＝|AB|2·|OE|＝|OE|＝，∴|OA|2＝|AE|2＋|OE|2＝6.从而以O为球心，OA为半径的球的表面积S＝4π·|OA|2＝24π.‎ ‎【答案】　24π ‎9．(2014·福建，19，12分，中)如图，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．‎ 解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥CD.‎ 又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)方法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，‎ ‎∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.‎ ‎∵M是AD的中点，‎ ‎∴S△ABM＝S△ABD＝.‎ 由(1)知，CD⊥平面ABD，‎ ‎∴三棱锥CABM的高h＝CD＝1，‎ 因此三棱锥AMBC的体积 VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.‎ 方法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，‎ 又平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ 如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，‎ 则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.‎ 又CD⊥BD，BD＝CD＝1，‎ ‎∴S△BCD＝.‎ ‎∴三棱锥AMBC的体积VAMBC＝VABCD－VMBCD＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.‎ 思路点拨：本题(2)中三棱锥体积V＝Sh，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将S△ABM求出，高即为CD＝h，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用VAMBC＝VABCD－VMBCD求得．‎ 考向1　空间几何体的表面积 ‎1．多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．‎ ‎2．旋转体的侧面积和表面积 ‎(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．‎ ‎(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．‎ ‎(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则 S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．‎ ‎(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.‎ ‎(1)(2014·陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎(2)(2013·课标Ⅰ，15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．‎ ‎【思路导引】　(1)所得几何体为圆柱，求出底面半径和母线后即可求侧面积；(2)根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积．‎ ‎【解析】　(1)由题意可知该几何体是底面半径r＝1，母线l＝1的圆柱，故S侧＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故选C.‎ ‎(2)平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得OH＝R，‎ 由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，‎ 所以＋12＝R2，得R2＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π·＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎ 1.几何体表面积的求法 ‎(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．‎ ‎(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．‎ ‎(3)规则几何体：若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎2．旋转体侧面积的求法 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．‎ ‎(2014·山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎【解析】　由题意，底面正六边形面积S＝6.设六棱锥高为h，则体积V＝Sh，所以2＝×6h，即h＝1，侧面的斜高为＝2，侧面积S侧＝6××2×2＝12.‎ ‎【答案】　12‎ 考向2　空间几何体的体积 空间几何体的体积公式 几何体名称 体　积 棱(圆)柱 V＝Sh(S为底面面积，h为高)‎ 棱(圆)锥 V＝Sh(S为底面面积，h为高)‎ 棱(圆)台 V＝(S′＋＋S)h ‎(S′，S为上、下底面面积，h为高)‎ 球 V＝πR3(R为球半径)‎ ‎(1)(2014·课标Ⅱ，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为(　　)‎ A．3 B. C．1 D. ‎(2)(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)‎ A.cm3 B.cm3‎ C.cm3 D.cm3‎ ‎【解析】　(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，∵AD⊥BC，‎ ‎∴AD⊥平面B1DC1，‎ ‎∴VAB1DC1＝S△B1DC1·AD ‎＝××2××＝1，故选C.‎ ‎(2)设球的半径为R，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R－(8－6)＝R－2，故R2＝(R－2)2＋42⇒R＝5.∴V＝πR3＝(cm3)．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A ‎【点拨】　解题(1)的关键是正确画出图形，熟记棱锥的体积公式；解题(2)关键是由球的截面圆性质建立关于R的方程，求出R.‎ ‎ 求几何体体积的类型及思路 ‎(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法和割补法进行求解．其中，等积转换法多用来求锥体的体积．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎(2013·浙江，5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A．108 cm3 B．100 cm3‎ C．92 cm3 D．84 cm3‎ ‎【答案】　B　由三视图可知，该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥，结合所给数据，可得其体积为6×6×3－××4×4×3＝100(cm3)，故选B.‎ ‎1．(2015·河南洛阳统一考试，8)某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为(　　)‎ A．12 B．24 C．24 D．12 ‎【答案】　A　由三视图知该几何体为一个正四棱台，侧面梯形的上底长为2，下底长为4，高为正(主)视图梯形的腰长，即为，则棱台的侧面积为×4＝12，故选A.‎ ‎2．(2014·广东中山模拟，4)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎【答案】　D　由三视图可知，该几何体为柱体，底面是半径为2，中心角为60°的扇形，所以该几何体的体积V＝×2××2×3＝2π，故选D.‎ ‎3．(2014·山东威海二模，7)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．180 B．240 C．276 D．300‎ ‎【答案】　B　由三视图可知，该几何体是在一个棱长为6的正方体的上方放置一个正四棱锥所形成的组合体，因此其表面积为5×62＋4××6×5＝240.故选B.‎ ‎4．(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)‎ A.＋ B.＋ C. D.＋ ‎【答案】　D　蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d＝＝.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为＋.‎ ‎5．(2014·安徽六校联考，8)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　方法一：如图，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，锥高，柱高1，AG＝＝，取AD中点M，则MG＝，‎ S△AGD＝×1×＝，‎ ‎∴V＝×1＋2×××＝.‎ 方法二：如图所示，取EF中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥．‎ V＝×12×＋2×××＝.‎ ‎6．(2015·辽宁沈阳一模，6)已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为(　　)‎ A．7π B．8π C．9π D．10π ‎【答案】　C　∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，在四面体的基础上构造长方体如图，‎ 可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R＝＝3，∴R＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×＝9π.故选C.‎ ‎7．(2015·山东青岛一模，13)如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为________．‎ ‎【解析】　观察三视图可知，该四棱锥底面为直角梯形，有一侧面垂直于底面，几何体高为2，几何体体积为××(2＋2＋2)×2×2＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎8．(2014·江苏南京一模，8)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．‎ ‎【解析】　由于四边形ABCD是菱形，所以以EB为底边的△CBE的高h＝AD·sin 60°＝2×＝，从而四面体PBCE的体积VPBCE＝VCPBE＝××1×2×＝.‎ ‎【答案】　 方法点拨：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可．常用方法有割补法和等体积变换法．本题使用了等积变换法．‎ ‎9．(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABCA′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝2，∠BAC＝，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．‎ ‎【解析】　依题意可知，球心到平面ABC的距离为AA′＝1，平面ABC所在圆的半径为BC＝，则球的半径为＝2，则球的体积为×π×23＝.‎ ‎【答案】　 ‎10．(2014·宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥DABC的外接球表面积等于________．‎ ‎【解析】　设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立．此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.‎ ‎【答案】　16π ‎11．(2015·河北邢台调研，19，12分)某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示．‎ ‎(1)求证：平面AB1C1⊥平面AA1C1C；‎ ‎(2)若E是线段AB1上的一点，且满足VEAA1C1＝VABCA1B1C1，求AE的长．‎ 解：(1)证明：由三视图可知，几何体ABCA1B1C1为三棱柱，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且AA1＝AC＝4，BC＝2.‎ ‎∵AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥B1C1，‎ ‎∵B1C1⊥A1C1，AA1∩A1C1＝A1，‎ ‎∴B1C1⊥平面AA1C1C.‎ 又∵B1C1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴平面AB1C1⊥平面AA1C1C.‎ ‎(2)过点E作EF∥B1C1交AC1于F，‎ 由(1)知，EF⊥平面AA1C1C，即EF为三棱锥EAA1C1的高．‎ ‎∵VEAA1C1＝VABCA1B1C1，‎ ‎∴S△AA1C1·EF＝S△ABC·AA1，‎ ‎∴××EF＝××4，解得EF＝.‎ 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2，‎ 在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝6，‎ 由＝，得AE＝AB1＝2.‎ ‎1．(2015·浙江，4，易)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.(　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎【答案】　A　A选项正确．‎ B选项中，l与m可能平行，如图所示．‎ ‎ ‎ C选项中，α与β可能相交，如图所示．‎ ‎ ‎ D选项中，l与m可能异面，如图所示．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．(2015· 广东，6，中)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【答案】　D　选项A中，直线l1，l在同一平面内，l1与l不相交则一定平行，即l1∥l；同理，由l2与l不相交得l2∥l.故l1∥l2，这与已知l1，l2是异面直线相矛盾，排除A.‎ 选项B中，l与l1，l2中的一条相交时也能满足条件，排除B.‎ 选项C中，至多与一条直线相交，包含与l1，l2都不相交，错误，排除C.‎ ‎∴选D.‎ ‎1．(2014·广东，9，易)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 ‎【答案】　D　不妨令l1，l2，l3分别为如图所示正方体的棱所在的直线．‎ 若l4为直线B1C1，则有l1∥l4；若l4为直线BB1，则l1⊥l4；若l4为直线B1C，则l1与l4异面，故l1与l4的位置关系不确定．故选D.‎ ‎2．(2013·浙江，4，易)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎【答案】　C　逐项判断，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m在β内，故选C.‎ ‎3．(2012·重庆，9，中)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，)‎ ‎【答案】　A　构造四面体ABCD，如图，使AB＝a，CD＝，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，则AE＝BE＝，∴＋>a，0

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