安徽省合肥市第二中学2020届高三3月线上考试数学（文）试题

安徽省合肥市第二中学2020届高三3月线上考试数学（文）试题

合肥二中2020届高三3月线上考试 数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知集合，，则集合中的元素个数为 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎2．已知复数满足，则复数的共轭复数为 A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为 A． B． C．2 D．4‎ ‎5．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实 践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．运行如图所示的程序框图，若判断框中填写，则输出 的的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知实数满足约束条件则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，右图画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知：抛物线，焦点为，过抛物线 上一点作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，且，则抛物线的方程为 ‎ A． B．或 ‎ ‎ C． D．或 ‎ ‎10．现将“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排列：‎ 若每一个“□”或“○”占1个位置，即上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是 “□”，则在第2017位之前（不含第2017位），“○”的个数为 A．1970 B．‎1971 ‎ C．1972 D．1973 ‎ ‎11．若，，使得，则正实数m的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数在上存在最小值，则的 取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13．已知函数则的解集为_________．‎ ‎14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，且双曲线右支上 ‎ 的一点到两焦点的距离之差是虚轴长的倍，则双曲线的标准方程为_________．‎ ‎15．已知正项等比数列的前n项积为，若，则的最大值为_________．‎ ‎16．已知函数的部分图象如下图所示，若 是函数图象的一个最高点，，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则当时，函数的值域为_________．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知中，角所对的边分别为，，．‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若点M在线段BC上，连接AM，若，，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 随着夏季的到来，冰枕成为市面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况，作出调研，并将所得数据统计如下表所示：‎ ‎ 表一：‎ 温度在‎30℃‎以下 温度在‎30℃‎以上 总计 女生 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 男生 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ 随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况，并将某月的日销售件数（x）与销售天数（y）统计如下表所示：‎ ‎ 表二：‎ 第天 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（件）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎（1）请根据表二中的数据在下列网格纸中绘制散点图；‎ ‎（2）请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）从（1）（2）中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长，‎ 但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计方案来判段是否有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.‎ ‎ 参考数据及公式：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎；，其中.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，点为线段的中点．‎ ‎（1）探究直线与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：在上恒成立．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆的离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线（‎ 为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，求的面积．‎ 请考生从第22、23题中任选一题做答． 如果多做，则按所做的第一题计分． 作答时请写清题号． ‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲 线,求曲线上的点到直线的距离的最小值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，若恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当时，解不等式 文数答案及解析 ‎1．C 【解析】依题意得，，故，故选C．‎ ‎2．B 【解析】依题意得，，故，故选B．‎ ‎3．C 【解析】依题意得，，故，故 ‎“”是“”的充要条件，故选C．‎ ‎4．A 【解析】依题意，将两边同时平方可得，‎ 化简得，故向量在方向上的投影为，故选A．‎ ‎5．A 【解析】依题意，所有的基本事件为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—‎ 乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的事件数有24种，其中满足条件的基本事件为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为，故选A．‎ ‎6．A 【解析】运行该程序，第1次循环：，，；第2次循环：，‎ ‎，；第3次循环：，，；第4次循环：，，；…；第79次循环：，，，此时结束循环，输出的的值为，故选A．‎ ‎7．A 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，要 使取得最小值，则取得最大值，结合图形可知当过点时取得最大值，故的最小值为，故选A．‎ ‎8．B 【解析】如图，该几何体是由一个圆柱和两个三棱锥，组成的，‎ 其中圆柱的底面半径为2，高为3，两个三棱锥的底面均是直角边长为2的等腰直角三角形，高均为3，所以所求表面积为 ‎，‎ 故选B．‎ ‎9．A【解析】由，易求，设，过作轴的垂线，垂足为，‎ 则为的直角三角形，则，，又由点在抛物线上，故，故，得，故答案为A ‎10．B 【解析】记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3‎ 组，以此类推，可知第k组共有2k个图形，故前k组共有个图形，因为，所以在前2016位中共有45个“□”，从而可知有2016−45=1971个“○”，故选B．‎ ‎11．B 【解析】依题意，整理可得，.设在上的 值域为A，函数在上的值域为B，则.当时，，即函数在上单调递减，故的值域.而，当时，易知在上是增函数，故的值域，因为，所以，故，即实数的取值范围为．‎ ‎12．A 【解析】，解之得： 故选择A ‎13． 【解析】依题意，当时，由，解得；当 时，由，解得（舍去）.综上所述，不等式的解集为 ‎．‎ ‎14． 【解析】依题意知，双曲线的渐近线方程为 ‎，即，故，即.设双曲线的左、右焦点分别为，则，解得，故双曲线的标准方程为．‎ ‎15．1 【解析】依题意得，，‎ ‎（当且仅当时取等号）．‎ ‎16． 【解析】依题意得，，设函数的最小正周期为，则 ‎，故.因为，所以，故，故，因为，所以，所以，所以，即函数的值域为．‎ ‎17．【解析】（1）因为，所以.‎ 因为，所以.（2分）‎ 所以 ‎，（4分）‎ 故的面积.（6分）‎ ‎（2）在中，由余弦定理，得.（8分）‎ 因为，所以．（10分）‎ 在中，由正弦定理，得．（12分）‎ ‎18．【解析】（1）散点图如下所示：‎ ‎（3分）‎ ‎（2）依题意，，，‎ ‎ ，，（6分）‎ ‎ ，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴y关于x的线性回归方程为.（8分）‎ ‎（3）采用独立性检验的方法进行说明：‎ ‎ 因为的观测值，（10分）‎ ‎ 所以有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关．（12分）‎ ‎19．【解析】（1）平面，理由如下：‎ 连接，设，因为四边形为矩形，所以为的中点．‎ 设为的中点，连接，则，且．（2分）‎ 由已知得，且，所以，且．（4分）‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即．‎ 因为平面，平面，所以平面．（6分）‎ ‎（2）由（1）可知，平面．‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， ‎ 所以．（8分）‎ 易知平面，连接，因为，‎ 所以 ‎．‎ 所以三棱锥的体积为．（12分）‎ ‎20．【解析】（1）依题意得，，又，，‎ 所以所求切线方程为，即.（3分）‎ ‎（2）依题意，要证，即证，即证.‎ ‎（4分）‎ ‎①当时，，，故，即.（6分）‎ ‎②当时，令，则，‎ 令，则，（8分）‎ 因为，所以，所以在上单调递增，‎ 故，即，‎ 所以，（10分）‎ 即，即.‎ 综上所述，在上恒成立．（12分）‎ ‎21．【解析】（1）联立方程得解得，故，即，‎ 又，，所以，（3分）‎ 故椭圆C的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）由（1）知，，设，则，‎ 又，即，所以，所以.‎ 当直线的斜率不存在时，直线的斜率分别为或，‎ 不妨设直线的方程是，由得，．‎ 取，则，所以的面积为.（6分）‎ 当直线的斜率存在时，设方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，所以，解得．‎ 设,,则，.（8分）‎ 所以 ‎．‎ 设点到直线的距离为，则．‎ 所以的面积为，①．（10分）‎ 因为，‎ 所以 由，得，②．‎ 由①②，得．‎ 综上所述，的面积为．（12分）‎ ‎22．【解析】（1）由题意得，曲线的普通方程为，（2分）‎ 因为，所以直线的直角坐标方程为.（4分）‎ ‎（2）依题意，曲线.曲线的参数方程为为参数),设曲线上 任一点,（6分）‎ 则点到直线的距离为(其中),（8分）‎ 所以点到直线的距离的最小值为，即曲线上的点到直线的距离的最小值为 ‎．（10分）‎ ‎23．【解析】（1）依题意，，（2分）‎ ‎ 因为恒成立，所以，即实数m的取值范围为.（4分）‎ ‎（2）依题意，，‎ ‎ 当时，，解得，无解；（6分）‎ ‎ 当时，，解得，故；‎ ‎ 当时，，解得，即.（8分）‎ ‎ 综上所述，当时，不等式的解集为．（10分