重庆市北碚区2019-2020学年高二上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题 含答案

重庆市北碚区2019-2020学年高二上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题 含答案

绝密★启用前 北碚区2019-2020学年(上)期末学生学业质量调研抽测 高二数学试卷 ‎（分数：150分 时间：120分钟）‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于D，E两点已知，，则抛物线C的焦点到准线的距离为            ‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ 2. 在中，已知三个内角为A，B，C，满足sinA：sinB：：5：4，则   ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知曲线：，：，则下面结论正确的是       ‎ A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 4. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是       ‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ 1. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线l：的距离的最小值为  ‎ A.   B. C. D. ‎ 2. 设函数，则使得成立的x的取值范围是    ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 若函数在单调递增，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 4. 设集合，集合，则使得的a的所有取值构成的集合是 A. B. C. D. ‎ 5. 若函数在区间上不是单调函数，则函数在上的极小值为   ‎ A. B. C. 0 D. ‎ 6. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ 7. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为坐标原点，且，则双曲线的离心率为    ‎ A. B. C. D. ‎ 8. 定义在R上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为    ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 函数零点的个数为______．‎ 2. 设等比数列满足，，则的最大值为______．‎ 3. 已知动圆E与圆外切，与圆内切，则动圆圆心E的轨迹方程为_________________．‎ 4. 如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 5. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行．Ⅰ求A；Ⅱ若，，求的面积． ‎ 6. 设全集，集合，． 若，求，； 若，求实数a的取值范围． ‎ 7. 已知直线l：为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值． ‎ 1. 已知椭圆C的焦点为和 ，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点求： 椭圆C的标准方程； 弦AB的中点坐标及弦长． ‎ 2. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD， CD上，，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置． Ⅰ证明：；Ⅱ若，，，，求五棱锥体积． ‎ 3. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD，，，F为棱的中点，M为线段的中点．Ⅰ求证：面ABCD；Ⅱ判断直线MF与平面的位置关系，并证明你的结论；Ⅲ求三棱锥的体积． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题． 画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【解答】 解：设抛物线为，如图：，， ，，， ， ， ， 解得：． 抛物线C的焦点到准线的距离为4． 故选B． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用正弦定理得a，b，c的关系，然后由余弦定理即可得出． 【解答】 解：：sinB：：5：4， 由正弦定理有a：b：：5：4， 不妨取，，， 则，‎ ‎， 则． 故选C． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】 解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到函数 的图象，即曲线， 故选D． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线和圆的位置关系及基本不等式的应用问题，是中档题． 求出圆心和半径，可得直线过圆心，即，再利用基本不等式乘法求得的最小值． 【解答】 解：圆，即圆， 它表示以为圆心、半径为2的圆， 弦长等于直径， 直线经过圆心，故有， 即，再由，， 可得： ‎ ‎， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值是9． 故选A． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题． 设与直线平行的直线方程是，与椭圆方程联立并消元，令可得c的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆上的动点P到直线l距离的最小值． 【解答】 解：设与直线平行的直线方程是， 与椭圆方程联立 消元可得， 令，可得， 故与直线平行的直线方程是， 与之间的距离为， 与之间的距离为， 椭圆上的动点P到直线l距离的最小值是． 故选A． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 由题意，可化为：‎ ‎，根据对数函数的性质，可得，即可求出结果． 【解答】 解：函数， 则不等式可化为， 可得，解得， 即使得成立的x的取值范围是． 故选B． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和换元法，属于中档题． 求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有恒成立． 【解答】 解：函数的导数为： ， 由题意可得恒成立， 即为， 即有， 设， 即有， a的取值范围是 故选C． ‎ ‎8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件． 利用，求出a的取值，注意要分类讨论． 【解答】‎ 解：， 当B是时，可知显然成立； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，a无解； 故满足条件的a的取值集合为 故选：D．‎ ‎ 9.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题， 求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到是函数的极小值即可． 【解答】 解：， 函数在区间上不是单调函数， ， 由，解得：或， 由，解得：， ， 故选A． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解． 【解答】 解：由正弦定理知：，即， ，， 故， 所以，又， 由余弦定理得， ， 故， 故选：D． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，属于中档题，利用向量确定是关键． 取的中点A，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论． 【解答】 解：取的中点A，则， ， ， ， ‎ 是的中点，A是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于较难题． 根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为求解即可． 【解答】 解：是定义在R上的偶函数，‎ ‎， 时，恒有， ， ， ， 在为减函数， 为偶函数，为偶函数， ，即， ，， 即， 解得 ‎． 则不等式的解集为． 故选A．‎ ‎ 13.【答案】4 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 在同一直角坐标系中作出和的图象，由图可得当时，和的图象有4个交点，由此可得函数零点的个数． 【解答】 解：在同一直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示： 函数的零点，即方程的实数根， ，， 结合图可知当时，函数和的图象的交点个数为4，‎ 即的零点有4个． 故答案为4．‎ ‎ 14.【答案】64 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题． 求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值． 【解答】 解：等比数列满足，，设公比为q ‎， 可得，解得， ，解得， 则 ， 当或时，取得最大值：， 故答案为64． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查两圆的位置关系、双曲线的定义以及标准方程，属于一般题． 设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合双曲线的定义即可解决问题．‎ ‎【解析】‎ 解：由圆，圆心，半径为，‎ 圆，圆心，半径为， ‎ 设动圆圆心M的坐标为，半径为r，‎ 则，，  ， ‎ 由双曲线的定义知，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，‎ 且，，， ，‎ 双曲线的方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎ 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属难题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置． 分别取棱、的中点M、N，连接MN，易证平面平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】 解：如下图所示： 分别取棱、的中点M、N，连接MN，连接， 、N、E、F为所在棱的中点，，， ，又平面AEF，平面AEF， 平面AEF； ，，四边形为平行四边形， ，又平面AEF，平面AEF， 平面AEF， 又，平面平面AEF， ‎ 是侧面内一点，且平面AEF， 则P必在线段MN上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当P在MN中点O时，此时最短，P位于M、N处时最长， ， ， 所以线段长度的取值范围是 故答案为 17.【答案】解：Ⅰ因为向量与平行， 所以，由正弦定理可知：． 因为，所以因为A为的内角，所以．Ⅱ，，由余弦定理可得，可得，解得负值舍去， 所以的面积为． ‎ ‎【解析】本题考查平面向量、余弦定理以及正弦定理的应用，三角形面积的求法，考查计算能力．Ⅰ利用向量的平行，列出等量关系式，通过正弦定理求解A；Ⅱ利用A，以及，，通过余弦定理求出c，然后求解的面积． 18.【答案】解：集合，或， 时，， 所以，或 若则，分以下两种情形： 时，则有， ， 时，所以，解得 ‎， 综合上述，所求a的取值范围为． ‎ ‎【解析】本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用，属于基础题． 利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可 分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可． 19.【答案】解：，， 令 ， 故C的直角坐标方程为； 直线l：为参数，显然M在直线l上， 把l的参数方程代入可得 ，， ， 故． ‎ ‎【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程及直线的参数方程，属于中档题． 曲线的极坐标方程即，根据极坐标和直角坐标的互化公式得，即得它的直角坐标方程； 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程即可求解． 20.【答案】解：椭圆C的焦点为和 ，长轴长为6，‎ 椭圆的焦点在x轴上，，， ， 椭圆C的标准方程． 设，，AB线段的中点为， 由，消去y，得，， ‎ ‎，，． ，弦AB的中点坐标为， ．‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆方程的求法，考查弦AB的中点坐标及弦长解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题． 由椭圆C的焦点为和，长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程； 设，，AB线段的中点为，由，得，故，，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长． 21.【答案】Ⅰ证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O， 点E、F分别在AD，CD上，， ，且， 将沿EF折到的位置， 则， ， ；Ⅱ若，，则，， ，， ， ， ， ，，，， ‎ ‎，， 满足， 则为直角三角形，且， 又，， 即底面ABCD， 即是五棱锥的高． 底面五边形的面积 ， 则五棱锥体积． ‎ ‎【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明是五棱锥的高．考查学生的运算和推理能力．Ⅰ根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．Ⅱ根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明是五棱锥的高，即可得到结论． 22.【答案】解：Ⅰ连接AC、BD交于点O，再连接OM， 中，OM是中位线，且， 矩形中，且， 且，可得四边形MOAF是平行四边形， ， 平面ABCD，平面ABCD， 平面ABCD；------分Ⅱ平面，证明如下 在底面菱形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD ， 、BD是平面内的相交直线 平面， ，平面，------------分Ⅲ过点B作，垂足为H， ‎ 平面ABCD，平面ABCD ， 、是平面内的相交直线 平面， 在中，，， ， 因此，三棱锥的体积--------分 ‎ ‎【解析】Ⅰ连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而，所以平面ABCD； 菱形的对角线互相垂直，得，由平面ABCD，得，所以平面，再结合，得平面； 过点B作于H，可证出平面，从而BH是三棱锥的高，算出的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积． 本题在特殊四棱柱中，证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题． ‎