数学（理）卷·2017届安徽省合肥市高三上学期第一次教学质量检测（一模）（2017

数学（理）卷·2017届安徽省合肥市高三上学期第一次教学质量检测（一模）（2017

合肥市2017届高三第一次模拟考试 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.要想得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位，再向上平移1个单位 B．向右平移个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移个单位，再向上平移1个单位 ‎4.执行下图的程序框图，则输出的为（ ）‎ A．9 B．11 C. 13 D．15‎ ‎5.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积为1，则的值为（ ）‎ A．1 B． C. D．4‎ ‎6.的内角的对边分别为，，，若，，则的外接圆的面积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设为两个同高的几何体，的体积不相等， 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为）的点的个数的估计值为（ ）‎ A．5000 B．6667 C. 7500 D．7854‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎10.已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与-18，则展开式所有项系数之和为（ ）‎ A．-1 B．1 C. 32 D．64‎ ‎11.已知函数在上的最大值为，最小值为，则 （ ）‎ A．4 B．2 C. 1 D．0‎ ‎12.已知函数 ，方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题：“”的否定为 ．‎ ‎14.已知，，且，则实数 ．‎ ‎15.已知，则 ．‎ ‎16.已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.‎ ‎(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；‎ ‎(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？‎ ‎19. （本小题满分12分）如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.‎ ‎（Ⅰ）若为中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）已知点为椭圆 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，，若，求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数），是的导函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为 （为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对于任意实数，，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、 12： ‎ 二、填空题 ‎13. 14.-6 15. 1或 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）因为为等差数列，‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ，‎ 当时，， ‎ 当时，，，‎ ‎ .‎ ‎18.（Ⅰ）, , ,‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值,‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数 ，则 ,‎ 抽奖所获奖金的均值 ,‎ 故选择方案甲较划算.‎ ‎19.解：（Ⅰ）四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，‎ 又为中点，，由 得， ,‎ 底面，底面，，又 ,‎ 平面 ‎（Ⅱ）四边形为菱形，，,‎ 得，，，又底面,‎ 分别以为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，‎ ‎、、、 ,‎ ‎ , , ,‎ 设平面的一个法向量 ，‎ 则有，令，则 ‎ 直线与平面所成角的正弦值 ‎ .‎ ‎20.解：（Ⅰ）由题意，得，则椭圆为：，‎ 由，得 ，‎ 直线与椭圆有且仅有一个交点，‎ ‎ ，‎ 椭圆的方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线与轴交于 ,‎ ‎ ,‎ 当直线与轴垂直时， ,‎ 由 ,‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，‎ 由 ，‎ 依题意得，，且 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ 综上所述，的取值范围是 .‎ ‎21.解：（Ⅰ）当时，，则 ，‎ 令，则 ，‎ 令，得，故在时取得最小值，‎ 在上为增函数，‎ ‎ ，‎ ‎（Ⅱ） ，‎ 由，得对一切恒成立，‎ 当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2.‎ 下面证明当时，不等式恒成立，‎ 设 ，则 ，‎ 由（Ⅰ） ， ，‎ 当时， ；当时， ，‎ 即在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎ ,‎ 当时，不等式恒成立 所以的最大值是2.‎ ‎22.解：（Ⅰ） ， ，‎ 即 ；‎ ‎（Ⅱ）将 ，代入得，，即 ，‎ 从而，交点坐标为 ，‎ 所以，交点的一个极坐标为 .‎ ‎23.解：（Ⅰ） ，‎ 当时，由或，得到 ，‎ 不等式的解集为 ；‎ ‎（Ⅱ）不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意的实数 恒成立，即 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 又 ，所以.‎