2019届二轮复习（理）专题八选修4系列选讲第一讲选修4－4坐标系与参数方程学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题八选修4系列选讲第一讲选修4－4坐标系与参数方程学案（全国通用）

专题八　选修4系列选讲 第一讲　选修4－4　坐标系与参数方程 考点一　极坐标方程及应用 ‎1．直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则 ‎2．几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.‎ ‎3．几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.‎ ‎[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cosα· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 解决极坐标问题应关注的两点 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．‎ ‎(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．‎ ‎[对点训练]‎ ‎(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ ‎[解]　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ 考点二　参数方程及应用 ‎1．圆的参数方程 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ ‎2．椭圆的参数方程 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎3．直线的参数方程 ‎(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎①t0＝；‎ ‎②|PM|＝|t0|＝；‎ ‎③|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ 角度1：参数方程与普通方程的互化 ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－‎ ‎16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用 ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋＝1.‎ 当cosα≠0时，l的普通方程为y＝tanα·x＋2－tanα，‎ 当cosα＝0时，l的普通方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝，‎ 故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.‎ 解决参数方程问题的3个要点 ‎(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．‎ ‎(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．‎ ‎(3)直线参数方程为(α为倾斜角，t为参数)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．[角度1]设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，‎ 所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.‎ ‎(2)解法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.‎ 由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，‎ 即kx－y＋4－3k＝0.‎ 当直线l与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，‎ 即<2，解得k>.‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ 解法二：将圆C的参数方程化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4　①，‎ 将直线l的参数方程代入①式，得 t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.　②.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100>0，‎ 即20sinαcosα>21cos2α，两边同除以20cos2α，得tanα>，即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ ‎[解]　(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，‎ ‎∴曲线C的直线坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)将直线l：(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t2＋5t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18.‎ ‎∵点M(5，)在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ 考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．‎ ‎[解]　(1)由消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，‎ 所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.‎ 由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2.‎ 可得直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B，‎ 设点P的坐标为(－5＋cost,3＋sint)，则点P到直线l的距离为d＝ ‎＝，‎ 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，‎ 所以△PAB面积的最小值＝×2×2＝4.‎ 解决极坐标与参数方程问题的关键 ‎(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．‎ ‎[对点训练]‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(θ为参数，01，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 (t为参数，<α<)．‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<)．‎ ‎1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．‎ 专题跟踪训练(三十二)‎ ‎1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程．‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ ‎∴C1：x＝－2的极坐标方程为ρcosθ＝－2，‎ C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的极坐标方程为(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0.‎ ‎(2)把直线C3的极坐标方程θ＝(ρ∈R)代入 圆C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ ‎∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝.‎ ‎∵圆C2的半径为1，∴|C2M|2＋|C2N|2＝|MN|2，‎ ‎∴C2M⊥C2N.‎ ‎∴△C2MN的面积为·|C2M|·|C2N|＝×1×1＝.‎ ‎2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，已知点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ ‎[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 点R的直角坐标为(2,2)．‎ ‎(2)设点P(cosθ，sinθ)，根据题意得Q(2，sinθ)，即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．‎ ‎∴当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4.‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.‎ ‎(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程．‎ ‎(2)C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎[解]　(1)将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圆．‎ ‎(2)将C1的参数方程(t为参数)，代入(x－1)2＋y2＝4中得2＋2＝4，化简，得t2＋t－3＝0.‎ 设两根分别为t1，t2，‎ 由根与系数的关系得 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.‎ ‎4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．‎ ‎[解]　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，‎ ‎∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，‎ ‎∴4x＋3y－24＝0，‎ 故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离 d＝ ‎＝ ‎＝(其中φ满足tanφ＝)．‎ 当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为.‎