数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考（2016

数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考（2016

重庆市第十一中学校高2017级12月月考数学(文)试题 命题人：刘爱莲 审题人：刘翠碧 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={3，log2（a2+‎3a）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则实数a的值等于（　　） ‎ A．1或 -4 B．‎1 ‎ C．4 D．-1或4‎ ‎2.曲线在点处切线的倾斜角是（ ） ‎ ‎ A．1 B. C. D.‎ ‎3. 数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8 ‎ ‎4．若，b=，，则( )‎ A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b ‎5．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（　 　）‎ A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=‎0 ‎C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0‎ ‎ 甲 乙 ‎ 7‎ ‎ ‎‎9 m ‎ 2‎ ‎ 3‎ n ‎2 4 8‎ ‎6．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（　 　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7 . 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且， （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎8．函数的图象向左平移（＞0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣‎2a72+‎3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．4 D．8‎ ‎10.在正方体ABCD—A1B‎1C1D1的侧面AA1BB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )‎ 否 n=n+1‎ 输出“S+n”‎ 结束 开始 S<0?‎ 是 n=1,S=100‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，则输出的“S+n”的值为（　　）‎ A．﹣19 B．﹣‎20 ‎C．﹣21 D．﹣18【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎12． 点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ 二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷的相应位置。‎ ‎13．复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=　　　‎ ‎14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）= _____‎ ‎15．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为___ ‎ ‎16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．‎ ‎　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．‎ ‎（Ⅰ）求△OAB与△OBC的面积之比； （Ⅱ）求sin∠BAD的值．‎ ‎18．学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：‎ 语文 优 良 及格 数学【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 优【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎8‎ m【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎9‎ 良 ‎9‎ n ‎11‎ 及格 ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（Ⅰ）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；‎ ‎12 56 85 99 26 96 96 68 27 31　05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76‎ ‎55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30‎ ‎16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76　‎ ‎（Ⅱ）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；‎ ‎(Ⅲ)在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．‎ ‎19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．‎ ‎（I）求证：PD∥平面AEF； ‎ ‎（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积 ‎20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为 ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．‎ ‎21．已知函数（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间 ‎（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． ‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．‎ ‎（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；‎ ‎（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（I）当a=﹣3时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎ 重庆十一中高2017级高三12月月考数学(文)答案 命题人：刘爱莲 审题人：刘翠碧 一、选择题：‎ ‎1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A12、C 二、填空题：‎ ‎13．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=　　1　　　　．‎ ‎14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=_2017______．‎ ‎15．设变量x，y满足约束条件，则z=（）2x﹣y的最小值为______．‎ ‎16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．‎ 解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，‎ 根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．‎ ‎（1）求△OAB与△OBC的面积之比；‎ ‎（2）求sin∠BAD的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值；‎ ‎（2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）BD为∠ABC的平分线，‎ 由角平分线定理知：， 2‎ 即有； 5 ‎ ‎（2）由AD∥BC且AB=AC，‎ 可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，‎ 即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，‎ 在△ABC中，AB=AC=3，BC=2， 7‎ 可得， 9‎ 即有sinC==，‎ 故sin∠BAD的值为． 12‎ ‎18．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100‎ 名学生的数学、语文成绩如表：‎ 语文 优 良 及格 数学 优 ‎8‎ m ‎9‎ 良 ‎9‎ n ‎11‎ 及格 ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；‎ ‎12 56 85 99 26　 96 96 68 27 31　 05 03 72 93 15　 57 12 10 14 21　 88 26 49 81 76‎ ‎55 59 56 35 64　 38 54 82 46 22　 31 62 43 09 90　 06 18 44 32 53　 23 83 01 30 30‎ ‎16 22 77 94 39　 49 54 43 54 82　 17 37 93 23 78　 87 35 20 96 43　　84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31　 57 24 55 06 88　 77 04 74 47 67　 21 76 33　50 25　 83 92 12 06 76　‎ ‎（2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；‎ ‎（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由随机数表法得到5个人的编号依次为：385，482，462，231，309．… 3‎ ‎（2）由=0.35，得m=18， 5‎ 因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17． 7…‎ ‎（3）由题意 m+n=35，且m≥13，n≥11，‎ 所以满足条件的（m，n）有：‎ ‎（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、‎ ‎（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12种， 10‎ 且每组出现都是等可能的．…‎ 记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M，‎ 则事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5种，所以P（M）=．… 12‎ ‎19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．‎ ‎（I）求证：PD∥平面AEF；‎ ‎（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，‎ 在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，‎ 在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF， 3‎ 在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG，‎ 又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，‎ 则PD∥平面AEF； 6‎ ‎（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，‎ ‎∴=， 9‎ 又E为PC的中点，∴． 12‎ ‎20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为 ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（I）抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．‎ ‎∵⊙M过坐标原点和F点，∴M在直线x=上．‎ ‎∴M到抛物线的准线的距离d=，解得p=2．‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x． 5‎ ‎（II）把y=4代入抛物线方程得x=4．即N（4，4）．‎ 设A（，y1），B（，y2）．‎ kNA==，kNB==，kAB==． 7‎ ‎∵直线NA和直线NB互相垂直，∴，即y1y2=﹣4（y1+y2）﹣32．‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），即y=+=﹣4，9‎ 即AB方程为y+4=（x﹣8）．‎ ‎∴直线AB过定点（8，﹣4）． 12‎ ‎20．已知函数（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）略4（Ⅱ）问题转化为h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，求出h（x）的导数，得到a≤﹣，（x＞0），令m（x）=﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，‎ 即[x‎1f（x1）﹣x‎2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立， 8‎ 即h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，‎ 而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx），‎ 由h′（x）≤0得：ax+1+lnx≤0，‎ 即a≤﹣，（x＞0）， 10‎ 令m（x）=﹣，（x＞0），m′（x）=，‎ 令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ ‎∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ ‎∴m（x）min=m（1）=﹣1，‎ ‎∴a≤﹣1． 12‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．‎ ‎（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；‎ ‎（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；‎ ‎（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．‎ ‎【解答】解：（I）将点M的极坐标（4，）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+），‎ 可得4=asin（+），解得a=4， 2‎ 由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ），‎ 即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即为x2+y2﹣2x﹣2y=0，‎ 即曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4； 5‎ ‎（II ）曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4为圆心C（，1），半径为2，‎ 则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，‎ 由，可得m=2，t=﹣，‎ 这时直线l：，消去t，可得x+y﹣2=0， 8 ‎ 点M的极坐标为（4，），可得M（2，2），‎ 即有M到直线l的距离为d==，‎ 可得|MN|的长为2． 10‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4． ‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}． 5‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]‎ 上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]． 10‎ ‎　‎